Атом водню

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ця стаття присвячена енергетичному спектру атома водню. Якщо вас цікавлять інші властивості хімічного елемента, дивіться статтю гідроген.

Атом водню - найпростіший із атомів хімічних елементів.

Він складається з позитивно зарядженого ядра, яке для основного ізотопу є просто протоном і одного електрона.

Квантовомеханічна задача про дозволені енергетичні стани атома водню розв'язується точно. Зважаючи на цю обставину, хвильові функції, отримані як власні функції цієї задачі є базовими для розгляду решти елементів періодичної таблиці. Саме тому атом водню має велике значення для фізики й хімії.

Зміст

1 Гамільтоніан
2 Власні функції і дозволені значення енергії
3 Хвильова функція основного стану
4 Неперервний спектр
5 Оптичні переходи
6 Тонка структура
7 Лембів зсув
8 Воднеподібні серії рівнів
9 Джерела

[ред.] Гамільтоніан

До складу атома водню входить ядро з масою M і зарядом +e та електрон із зарядом -e. Взаємодія між ними - кулоніське притягання.

Гамільтоніан атома водню має вигляд ^[1]

$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2M} \nabla_R^2 - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla_r^2 - \frac{e^2}{| \mathbf{R} - \mathbf{r}|}$ ,

де $\mathbf{R}$ - радіус-вектор ядра, а $\mathbf{r}$ - радіус-вектор електрона.

При переході до системи координат, зв'язаної з центром мас, гамільтоніан розбивається на два незалежні доданки.

$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2M_C} \nabla_{R_C}^2 + \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_\rho^2 - \frac{e^2}{\rho}$ ,

де $M c = M + m$ - сумарна маса електрона й ядра, $\mu = \frac{Mm}{M+m}$ - приведена маса електрона, $\mathbf{R}_C$ - радіус-вектор центра мас, $\mathbf{\rho} = \mathbf{r} - \mathbf{R}$ - вектор, який сполучає ядро з електроном.

Перший член у гамільтоніані описує поступальний рух атома водню, як цілого. Надалі його не розглядатимемо.

В сферичній системі координат гамільтоніан відносного руху електрона навколо ядра записується у вигляді:

$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho^2 \frac{\partial }{\partial \rho} \right) - \frac{\hat{L}^2}{2\mu\rho^2} - \frac{e^2}{\rho}$ ,

де $\hat{L}^2$ - оператор квадрату кутового моменту.

Гамільтоніан комутує із оператором квадрату кутового моменту, а тому має спільні з ним власні функції.

[ред.] Власні функції і дозволені значення енергії

Власні функції гамільтоніана мають вигляд:

$\psi_{nlm} = \tilde{\rho}^l e^{-\tilde{\rho}/2} L_{n+l}^{2l+1}(\tilde{\rho}) Y_{lm}(\theta, \varphi)$ ,

де $\tilde{\rho} = \frac{2\rho}{na_0}$ , $a 0$ - радіус Бора, $L_i^j$ - поліноми Лагера, $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ - сферичні гармоніки.

Функції характеризуються трьома цілими квантовими числами

n = 1,2,3... - основне квантове число.
l = 0..n-1 - орбітальне квантове число.
m = -l..l - магнітне квантове число.

Крім того, електронні хвильові функції характеризуються ще одним квантовим числом - спіном, який з'являється при врахуванні релятивістських ефектів. Спінове квантове число приймає значення $s_z = \pm 1/2$ .

Власні значення гамільтоніана мають вигляд

$E_n = - R \frac{1}{n^2}$ ,

де $R = \frac{\mu\alpha^2}{2\hbar^2} = \approx 13.6$ еВ - константа (α - стала тонкої структури).

Власті значення гамільтоніана відповідають можливим значення енергії атома водню. Вони залежать тільки від основного квантового числа n. Кожен із енергетичних рівнів атома водню, крім першого, вироджений. Одному значеню енергії відповідає n² можливих функцій, з врахуванням спіну 2n². ^[2]

[ред.] Хвильова функція основного стану

[ред.] Неперервний спектр

[ред.] Оптичні переходи

[ред.] Тонка структура

[ред.] Лембів зсув

[ред.] Воднеподібні серії рівнів

Воднеподібні серії рівнів виникають в інших задачах квантової механіки. Серед них слід згадати:

Ізотопи водню: дейтерій та тритій мають енергетичні спектри, які відрізняються від спектра водню лише значенням приведеної маси. Ретельне

вивчення оптичних переходів дозволяє перевірити справедливість основних формул.

Йон гелію He⁺ та йон літію Li²⁺. Ці йони теж мають один електрон, але більший заряд ядра. Вивчаючи оптичні спектри цих

йонів можна перевірити залаженість положення енергетичних рівнів від величини заряду.

Зв'язані з протоном мюони. Мюони загалом схожі на електрони, але мають набагато більшу масу. Зв'язавшись із протонами вони утворюють

воднеподібні атоми.

Воднеподібні домішкові рівні в напівпровідниках. Донори й акцептори в напівпровідниках мають заряд, який відрізняється на одииницю від

заряду сусідніх атомів. Проте завдяки великому значенню діелектричної проникності, електрони чи дірки слабо притягаються до цих атомів. Радіуси електронних орбіт в напівпровідниках загалом простягаються на десятки періодів кристалічної ґратки.

Екситони Ваньє-Мотта - зв'язані стани електрона й дірки в напівпровідниках. Мають воднеподібну серію енергетичних станів.

↑ Система СГС
↑ Це виродження є характерною особливістю атома водню. Для інших атомів рівні енергії залежать як від основного кватового числа n, так і від орбітального квантового числа l. Залишається лише виродження відносно магнітного квантового числа m і спіну. Це виродження знімається зовнішнім магнітним полем.

[ред.] Джерела

Білий М.У. (1973). Атомна фізика, Київ: Вища школа.

Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки, Київ: Либідь.
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІІ. Квантовая механика. Нерелятивистская теория., Москва: Наука..