Образ відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Нехай f:X→Y - відображення множини X в множину Y. Образом відображення f називається множина всіх елементів виду f(x)∈Y, тобто:Im f = {f(x)|x∈X}=f(X)⊂Y Образ f(X)⊂Y називається також областю значень функції f.

Точно так образом елемента або значенням відображення в точці x ∈ X при відображенні f називається такий елемент y ∈ Y, що y=f(x). Аналогічно, образом підмножини А⊂X для відображення f називається така підмножина B⊂Y, що f(A)=(f(x)|x∈A}

Прообразом елемента y∈Y називається множина всіх елементів виду f^-1(y)∈X, де f^-1(y) = {x∈X|f(x)=у}. Прообразом підмножини B ⊂Y називається множина виду f^-1(B)={x∈X|f(x)∈B}.

Не слід плутати f^-1 зі оберненим відображенням для бієктивного відображення.

[ред.] Приклади

1. f: {1,2,3} → {a,b,c,d} визначена як

В цьому випадку, образом множини {2,3} при відображенні f є f({2, 3}) = {c, d}, і областю значень f є {a, c, d}. Прообразом множини {a, b} є f ⁻¹({a, b}) = {1}.

2. f: R → R визначена як f(x)=x².

В цьому прикладі, образом [-2,3] для відображення f є f([-2,3])=[0,9] і областю значень f є множина невід'ємних дійсних чисел. Прообразом [0,9] для f є f ⁻¹([0,9])=[-3,3].

[ред.] Властивості

З наведених визначень безпосередньо випливають наступні властивості образів та прообразів для будь-яких A, A₁, A₂ з X та B, B₁ and B₂ з Y:

• f(A₁ ∪ A₂) = f(A₁) ∪ f(A₂)
• f(A₁ ∩ A₂) ⊆ f(A₁) ∩ f(A₂)
• f ⁻¹(B₁ ∪ B₂) = f ⁻¹(B₁) ∪ f ⁻¹(B₂)
• f ⁻¹(B₁ ∩ B₂) = f ⁻¹(B₁) ∩ f ⁻¹(B₂)
• f(f ⁻¹(B)) ⊆ B
• f ⁻¹(f(A)) ⊇ A
• A₁ ⊆ A₂ → f(A₁) ⊆ f(A₂)
• B₁ ⊆ B₂ → f ⁻¹(B₁) ⊆ f ⁻¹(B₂)

[ред.] Дивись також

• Відображення
• Образ та прообраз відповідності між множинами