Відповідність між множинами
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Відповідністю між множинами A і B в теорії множин називається будь-яка підмножина C декартового добутку A×B. Якщо (a,b)∈C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.
В математичній літературі також інколи прийнято вважати поняття відповідності між множинами синонімом поняття відношення між множинами. Тут ці поняття розрізняються.
Зміст |
[ред.] Графіки відповідностей
Відповідність можна задавати графіком відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C = {(1,a),(1,d),(2,с),(2,d),(3,b),(5,a),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d - горизонтальні прямі на координатній площині.
Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності.
Для задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч - точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a,b) належить заданій відповідності.
Іноді відповідність між двома множинами (з узагальненням на довільну кількість множин) визначають саме як кортеж (A, B, GAB), де A, B - множини, між якими встановлюється відповідність, а GAB = A×B - графік відповідності
[ред.] Область визначення та область значень
Дивись також Область значень та область визначення відображення (функції)
Припустимо, що C∈A×B деяка відповідність. Проекція множини Pr1 C називається областю визначення, а множина Pr2C - областю значень відповідності C.
Якщо Pr1 C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.
[ред.] Образ та прообраз
Дивись також Образ та прообраз відображення (функції
Образом елемента a∈Pr1 C при відповідності C називається множина всіх елементів b∈Pr2 C, які відповідають елементу a (див. також Образ відображення).
Прообразом елемента b∈Pr2 C при відповідності C називається множина всіх тих елементів a∈Pr1 C, яким відповідає елемент b.
Якщо A∈Pr1 C, то образом множини A при відповідності C називається об’єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз множини B∈Pr2 C.
[ред.] Обернена відповідність
Дивись також Обернене відображення (функція)
Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що D ={(b,a) | (a,b)∈C}. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.
[ред.] Композиція відповідностей
Дивись також Композиція функцій (відображень)
Якщо задано відповідності C∈A×B і D∈B×F, то композицією відповідностей C і D (позначається CoD ) називається відповідність H між множинами A і F така, що H = { (a,b)| ∃ c∈B:(a,c)∈C ∧ (c,b)∈D }.
[ред.] Відповідності, функції та відображення
В математичній літературі прийнято називати відповідність C⊆A×B функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові a∈Pr1 C відповідає тільки один елемент з Pr2 C.
Термін відображення зазвичай вживається як синонім функції, але деякі джерела схильні розрізняти ці поняття, причому в одних функцією називається таке відображення, яке є всюди визначеним, а в інших - навпаки: відображенням вважається така функція, яка є всюди визначеною.
