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Bất đẳng thức cộng Chebyshev – Wikipedia tiếng Việt

Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

và

b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,

thì

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

Tương tự, nếu

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

và

b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,

thì

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

[sửa] Chứng minh

Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng qui tắc sắp xếp bất đẳng thức.

Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \,

và

b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n. \,

Vậy thì, theo qui tắc sắp xếp bất đẳng thức, ta có

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,
\vdots \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,

Cộng vế theo vế, ta có:

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);

chia cả hai vế cho n2, ta nhận được:

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.

(điều phải chứng minh)

[sửa] Tham khảo

Lấy từ “http://vi.wikipedia.org../../../b/%E1%BA%A5/t/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c_c%E1%BB%99ng_Chebyshev_62dc.html”

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