三角平方數
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三角平方數是既是三角形數，又是平方數的數。三角平方數有無限個，可以由以下公式求得：
找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成配爾方程。每個平方數的形式為m^2，三角形數的則為n(n-1)/2。於是求n, m使得：
- n(n - 1) / 2 = m2
- n(n - 1) = 2m2
- n(n - 1) + 1 = 2m2 + 1
- (2n - 1)2 = 2m2 + 1
設k = 2n - 1，代入之，得方程k2 = 2m2 + 1。
第k個三角平方數N等於第s個平方數及第t個三角形數，它們的關係為
t可以由下面的方式得出：
![t(N_k) = {1 \over 4} \left[ \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right)^2 - \left( 1 + (-1)^k \right)^2 \right]](../../../math/3/6/1/361990563dfd751a496062a8eeedb8ef.png)
.
N亦可用遞歸的方式求得：
- N0 = 0
- N1 = 1
- Nk = 34Nk - 1 - Nk - 2 + 2
當k越大，t / s就會趨近
：
[编辑] 相關問題
大衛·蓋爾曾提出一條問題：求對於哪些n，使得1,2,3,4...,n這個數列中，存在一個數s，在s之前的數之和跟在s之後的數之和相等。例如1,2,3,...,8中，6就是這樣的一個數，1+2+3+4+5=7+8
解答： 根據題意列方程，得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2 s2 = n(n+1)/2
當第n個三角形數是平方數時，就符合題目的條件。（參考：Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)）
[编辑] 參考
- Triangular numbers that are also square From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
- 本文主要譯自en:Triangular square number
