二元搜尋樹

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3层二元搜尋樹

二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，O(log(n)).

Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){
        //在根指针T所指二叉排序树中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功，
        //则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE，否则指针指向查找路径上访问的最后
        //一个结点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL
        if(!T){ p=f; return FALSE;}     //查找不成功
        else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;}     //查找成功
        else if LT(key,T->data.key) 
return SearchBST(T->lchild, key, T, p);      //在左子树中继续查找
        else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树中继续查找
}

[编辑] 在二叉排序树插入结点的算法

向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：

若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：
若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：
若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：
把s所指结点插入到右子树中。

/*当二叉排序树T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回FALSE*/
Status InsertBST(BiTree &T, ElemType e){
        if(!SearchBST(T, e.key, NULL,p){
                s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
                s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL;
                if(!p)  T-s;    //被插结点*s为新的根结点
                else if LT(e.key, p->data.key) p->lchld = s;      //被子插结点*s为左孩子
                else ->rchild = s;   //被插结点*s为右孩子
                return TRUE;
        }
        else return FALSE;      //树中已有关键字相同的结点，不再插入
}

[编辑] 在二叉排序树删除结点的算法

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左子树，*s为*f左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。在二叉排序树上删除一个结点的算法如下：

Status DeleteBST(BiTree &T, KeyType key){
        //若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回
        //TRUE；否则返回FALSE
        if(!T) return FALSE;    //不存在关键字等于key的数据元素
        else{
                if(EQ(key, T->data.key)) {return Delete(T)};         找到关键字等于key的数据元素
                else if(LT(key, T->data.key))        return DeleteBST(T->lchild, key);
                else return DeleteBST(T->rchild, key);
        }
}
Status Delete(BiTree &p){
        //从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树
        if(!p->rchild){      //右子树空则只需重接它的左子树
                q=p; p=p->lchild;    free(q);
        }
        else if(!p->lchild){ //左子树空只需重接它的右子树
                q=p; p=p->rchild; free(q);
        }
        else{   //左右子树均不空
                q=p; 
                s=p->lchild;
                while(s->rchild){ 
                       q=s; 
                       s=s->rchild
                }       //转左，然后向右到尽头
                p->data = s->data;        //s指向被删结点的“前驱”
                if(q!=p)        
                       q->rchild = s->lchild;     //重接*q的右子树
                else 
                        q->lchild = s->lchild;    //重接*q的左子树
                free(s);
        }
        return TRUE;
}

[编辑] 二叉排序树性能分析

每个结点的 $C i$ 为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为 $n$ ，其平均查找长度为 $\frac{n+1}{2}$ (和顺序查找相同)，最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和 $log 2 (n)$ 成正比( $O (log 2 (n))$ )。