对偶空间
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对偶空間構造是 行向量(1×n)與列向量(n×1)的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分布及希爾伯特空間提供重要的觀點。对偶空間的應用是泛函分析理論的一特徵。 傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念。
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[编辑] 代數的对偶空间
設V為 在域F上的向量空間，定義其对偶空間V* 為由V到F的所有線性函數的集合。 即是V的標量線性變換。V* 本身是Ｆ的向量空間並且擁有加法及標量乘法：
∀ φ, ψ ∈ V*, ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V. 在張量的語言中,V的元素被稱為逆變(contravariant)向量而V*的元素被稱為協變(covariant)向量,同向量(co-vectors)或一形(one-form)。
[编辑] 例子
如果V是有維限的,V*的維度和V的維度便相等; 如果{e1,...,en}是V的基，V* 便應該有相對基 {e1,...,en}，記作：
如果V 是平面幾何向量的空間，V* 便是一組組的平衡線。我們能從平衡線應用到任何向量產生一個標量。
如果V是無限維度，ei 不能產生V* 的基;而V* 的維度比V的大。
例如空間R(ω)的元素是實數列，其擁有很多非零數字。Rω的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列(an) 被用於元素(xn) 而產生∑nanxn。
[编辑] 線性映射的轉置
設 f: V -> W 是線性映射。 f 的轉置 tf : W* → V* 定義為
-
∀ φ ∈ W*.
f |-> tf 產生 一 單射 between the 空間 of 線性映射 from V to W and the 空間 of 線性映射 from W* to V*; this 線性映射 is an 同構 iff W is 是有維限的. 若 線性映射 f 表示作其 矩陣 A with respect to two 基 of V and W, 則 tf 表示作其 轉置矩陣 tA with respect to the 對偶基 of W* and V*. 若 g: W → X 是另一線性映射, 則 t(g o f) = tf o tg.
在范畴理論的語言裡,為任何向量空間取對偶及為任何線性映射取轉置 都是向量空間范畴的逆變函子。
[编辑] 雙線性乘積及对偶空間
正如所見，如果V擁有有限維度，V跟V*是同構的，但是该同構并不自然；它是依賴于我们开始所用的V的基。事實上，任意同構Φ (V → V*) 在V上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：
相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由V映射到V*的同構。
[编辑] 到雙对偶空間内的單射
存在一個由V到其雙对偶V**的自然映射Ψ ，定義為
(Ψ(v))(φ) = φ(v) ∀ v ∈ V, φ ∈ V*.
Ψ 常是單射; 当且仅当V的維數有限時, Ψ 是個同構。
[编辑] 連續對偶空間
處理拓墣向量空間時, 吾人一般只感興趣於 由該空間射到其基域的 連續線性泛函。 This gives rise to the 概念 of the 連續對偶空間 which is a 線性子空間 of the 代數 对偶空間. The 連續對偶 of a 向量空間V is denoted V′. When the context is clear, the 連續對偶 may just be called the 對偶.
The 連續對偶 V′ of a 線性賦範向量空間 V (e.g., a 巴拿赫空間 or a 希爾伯特空間) 產生一個線性賦範向量空間. The 範數 ||φ|| of a 連續線性泛函 on V is defined by
This turns the 連續對偶 into a 線性賦範向量空間, indeed into a 巴拿赫空間.
[编辑] 例子
For any finite-dimensional 線性賦範向量空間或拓墣向量空間，正如歐德空間，the 連續对偶 and the 代數对偶 coincide.
Let 1 < p < ∞ be a 實數 and consider the 巴拿赫空間 l p of all sequences a = (an) for which
is finite. Define the number q by 1/p + 1/q = 1. Then the 連續对偶 of l p is naturally identified with l q: given an element φ ∈ (l p)', the corresponding element of l q is the sequence (φ(en)) where en denotes the sequence whose nth term is 1 and all others are zero. Conversely, given an element a = (an) ∈ l q, the corresponding 連續線性泛函 φ on l p is defined by φ(a) = ∑n an bn for all a = (an) ∈ l p (see Hölder's 不等式).
In a similar manner, the 連續对偶 of l 1 is naturally identified with l ∞. Furthermore, the 連續对偶 of the 巴拿赫空間 c (consisting of all convergent sequences, with the supremums 範數) and c0 (the sequences 收斂 to zero) are both naturally identified with l 1.
[编辑] 进一步的性質
If V is a 希爾伯特空間, then its 連續对偶 is a 希爾伯特空間 which is anti-isomorphic to V. This is the content of the Riesz representation theorem, and gives rise to the bra-ket notation used by 物理學人 in the 數學描述 of 量子力學.
類似 the case of the 代數 double 对偶, there is always a naturally defined injective 連續線性算子 Ψ : V → V '' from V into its 連續double 对偶 V ''. This map is in fact an isometry, meaning ||Ψ(x)|| = ||x|| for all x in V. Spaces for which the map Ψ is a 雙射 are called reflexive.
The 連續对偶 can be used to define a new 拓墣 on V, called the 弱拓墣.
If the 对偶of V is separable, then so is the space V itself. The converse is not true; the space l1 is separable, but its 对偶 is l∞, which is not separable.
