平方根

维基百科，自由的百科全书

平方根，对于非負實數 $x$ 来说，是指某個自乘結果等於 $x$ 的實數，表示為 $\sqrt x$ (√x)，其中属于非負實數的平方根称算術平方根。有时我们说的平方根指算術平方根。正整數的平方根通常是無理數。

$\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y$

$\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$

注意若n是非負實數且 $x 2 = n$ ， $\sqrt{n}$ ≠ $x$ ，因為 $\sqrt{n}$ 必定是正數， $x$ 應等於± $\sqrt{n}$ ；即 $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ (見絕對值)。

數學史中，最重要的平方根可以說是 $\sqrt{2}$ ，它是第一個公認的無理數。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母l亦受不少中世紀的歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica則用橫線當成latus的簡寫，在要被開方的數下畫一線。最有影響的是拉丁語的radix(平方根)，1220年Leconardo在Practica geometriae使用R(R右下角的有一斜劃，像P和x的合體)； $\sqrt {}$ (沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小楷r的變型；現今常用的 $\sqrt {n}$ 是由笛卡兒在幾何中先用的。

[编辑] 複數的情況

因為在複數裏，平方根函數的值不是連續的， $\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}$ 這條定律不成立。如果這條定律仍可用，就會出現一些錯誤的證明，例如︰

$-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1$

注意 $\sqrt{c^2} = \pm c$ ，因此 $\sqrt{a^2 b^2} = \pm ab$ $\sqrt{zw} = \pm \sqrt{z} \sqrt{w}$ ，使用 $a = \sqrt{z}$ 和 $b = \sqrt{w}$ 。

[编辑] 計算方法

[编辑] 計算器

計算器本身有很好的方法來計算指數函數和自然對數，故它會透過以下的恆等式來計算平方根︰

$\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}$

[编辑] 長除式算法

以下這個算法是根據 $(10 a + b) 2 = 100 a 2 + 20 a b + b 2$ 而生的。

將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,
如98765.432內小數點前的65是一組, 87是一組, 9是一組, 小數點後的43是一組, 之後是單獨一個2, 要補一個0 而得20是一組
1 04.85 73 得四組, 順序為 1' 04. 85' 73'
以 $\sqrt{104.8573}$ 準確至2位小數為例子:
將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下
將上一步所得之差乘100，和下一組數聯起來
將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於上一步所得之差，將上一步所得之差減去所得之積
重覆第3步，直到找到答案
可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止

直式︰

  1 0. 2  3  9
 _____________
 1 04.85 73 00
 1               1*1≤1
 ____
 0 04
    0            (1*20+0)0≤4≤(1*20+1)1
 _______
    4 85
    4 04         (10*20+2)2≤485≤(10*20+3)3
    _______
      81 73
      61 29      (102*20+3)3≤8173≤(102*20+3)3
      ________
      20 44 00
      18 42 21   (1023*20+9)≤204400
      ________
      XXXXXXXX

答案為10.24

事實上，將算法稍作改動，可以開任何n次方的根，詳見移動n次方算法。