序數算術

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我們可在序數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。

給出序數 S 與 T，在 {(s,0):s ∈ S} ∪ {(t,1):t ∈ T} 定義以下的良序關係：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 δ=β 而 a<b。假設 S 與 T 不相交，這等於考慮 S ∪ T，而 S 的元素定義為小於 T 的元素。這良序集對應的序數記作 S+T，稱為序數和。

序數和適合結合律，即 (S+T)+R=S+(T+R)。

第一個超窮序數是 ω，自然數集的序數。ω+ω 就像

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

這不同於 ω。在 ω 只有 0 沒有直接前導者，而在 ω+ω 0 and 0' 都沒有直接前導者。

3 + ω 就像

0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...

稍一留心，會發覺這與 ω 沒有分別，是以 3 + ω = ω。而 ω + 3 就像

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2'

卻是不同於 ω 原因它有個最大元。是以序數和不符交換律。

讀者可試證 (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω。

給出序數 S 與 T，在笛卡儿积 S × T上定義以下的良序關係：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 δ=β 而 a<b。對應的序數記作 ST，稱為基數積。

序數積適合結合律，即 (ST)R=S(TR)。

序數積也不符合交換律。舉例，ω2 就像:

0₀ < 1₀ < 2₀ < 3₀ < ... < 0₁ < 1₁ < 2₁ < 3₁ < ...

於是 ω2 = ω + ω。但 2ω 卻是:

0₀ < 1₀ < 0₁ < 1₁ < 0₂ < 1₂ < 0₃ < 1₃ < ...

可見 2ω = ω ≠ ω2。

分配律只是部分成立。有 R(S+T) = RS + RT 但沒有 (T+U)R = TR + UR：(1+1)ω=2ω = ω 但 1ω + 1ω=ω+ω。

給出序數 S 與 T，幕數 S^T 是指 {S^R : R < T}的最小上界。當然有 S⁰=1，S¹=S，S²=S×S，S³=S×S×S，……。

第一個無限序數是 ω，第一個不能由 ω 有限引伸而成的序數是 ε₀。對多數利用超窮歸納法的證明，ε⁰以經足夠。要知道 $\epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}$ 且 $\epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}$ 。

任一序數 $α > 0$ 可以寫成 $\omega^{\beta_1} c_1 + \omega^{\beta_2}c_2 + \ldots + \omega^{\beta_k}c_k$ ，當中 $k, c_1, c_2, \ldots, c_k$ 為正整數而 $\beta_1 > \beta_2 > \ldots > \beta_k \ge 0$ 為序數。此分解稱為 $α$ 的 Cantor normal form，可以看作是個 ω 進制的记数系统，而 $β 1$ 叫作 $α$ 的次數。一般來說， $\beta_1\le\alpha$ ；但若然 $α < ε 0$ , 就有 $β 1 < α$ , 並可得出一個只有自然數及 ωs 的表達式。