无穷公理

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在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中，无穷公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理读做:

$\exist \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \and (\forall x: x \in \mathbf{N} \implies x \cup \{x\} \in \mathbf{N})$

或用日常语言: 存在一个集合 N，使得空集在 N 中，并且只要 x 是 N 的成员，则通过 x 与它的单元素集合 {x} 的并集形成的集合也是 N 的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合 $X$ ，对于所有 $x \in X$ ， $x$ 的后继 $x'$ 也是 $X$ 的一个元素。

[编辑] 解释

要理解这个公理，首先我们要定义 x 的后继为 x ∪ {x}。注意配对公理允许我们形成单元素集合 {x}，还允许形成这种对。后继被用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中，零是空集 (0 = {})，而 1 是 0 的后继: 1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0}。

类似的， 2 是1 的后继: 2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1},

以此类推。这个定义的推论是所有自然数都等于所有前驱的自然数的集合。

我们可能希望形成所有自然数的集合，但是只使用其他公理这是不可能的。无穷公理因此假定这个集合的存在。它通过类似于数学归纳法的方法完成的，通过首先假定有一个集合 S 包含零，并接着强加对于 S 的所有元素，这个元素的后继也在 S 中。

这个集合 S 可以包含不只是自然数，它们形成它的子集，但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素，留下所有自然数的集合 N。通过外延公理这个集合是唯一的。应用分类(分离)公理的结果是:

$\exist \mathbf{N} \forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([\forall k \in n(\bot) \or \exist k \in n( \forall j \in k(j \in n) \and \forall j \in n(j=k \lor j \in k))] \and$
$\forall m \in n[\forall k \in m(\bot) \or \exist k \in n(k \in m \and \forall j \in k(j \in m) \and \forall j \in m(j=k \lor j \in k))]))$