Алгоритъм на Евклид

Алгоритъмът на Евклид е алгоритъм за намиране на най-големия общ делител (НОД) на две естествени числа. Той е един от първите публикувани алгоритми. Описан е в книгата на Евклид „Елементи“ около 300 г. пр.н.е.

Съдържание

Нека $a$ и $b$ са естествени числа и редицата

$a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n$

е определена така, че всяко $r k$ е остатък от делението на пред-предния член на предния член, т. е.

a = b q 0 + r 1

b = r 1 q 1 + r 2

r 1 = r 2 q 2 + r 3

$\cdots$

r n - 1 = r n q n

Тогава $(a, b)$ , най-големият общ делител на $a$ и $b$ , е равен на $r n$ , последния ненулев член на редицата.

Верността на алгоритъма следва от съжденията:

Взимайки двете дадени на входа на алгоритъма числа a и b, провери дали b е равно на 0.

Ако да, числото a е търсеният най-голям общ делител.

Ако не, повтори процеса, като използваш за входни данни b и остатъка, получен при деленето a на b (означаван по-долу с a mod b)

function gcd(a, b)
  if b = 0
     return a
  else
     return gcd(b, a mod b);

function gcd(a, b)
  while b ≠ 0
    var t := b
    b := a mod b
    a := t
  return a

function gcd(a, b)
  while a ≠ b
    if a > b
      a := a - b
    else
      b := b - a
  return a

Най-големия общ делител на числата 1071 и 1029 се пресмята по следния начин:

$1071 = 1 \cdot 1029 + 42$

$1029 = 24 \cdot 42 + 21$

$42 = 2 \cdot 21 + 0$

Следователно, търсения делител е 21.