Ковектор

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Преди да дадем дефиницията за ковектор е нужно да изведем няколко важни правила относно връзката между координатни системи и трансформацията на координати при смяна на векторната база.

Съдържание

1 Координатни системи и трансформация на вектори
2 Матрично представяне
3 Дефиниция
4 Виж още:
5 Ползвана литература и полезни материали в интернет

[редактиране] Координатни системи и трансформация на вектори

От информацията за вектори знаем че векторът е физически обект, представян чрез три координати в тримерното Евклидово пространство.

А(а1, а2, а3), при зададена база (е1,е2,е3).

$\vec A=a1. \vec e1+ a2. \vec e2 + a3. \vec e3$

Можем да запишем горното равенство за по-просто:

A = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3

(е1,е2,е3) ще наричаме базови вектори, база или базови координатни вектори. В случая не става дума за единични вектори, понеже големината на тези вектори може да е различна от единица.

Ако променим базата от вектори (е1,е2,е3) и ползваме нова база вектори (е1',е2',е3') , то координатите на вектора ще се променят съответно в А' (а1', а2', а3').

Нека да разгледаме по-подробно какво става при смяна на базата.

Нека да е зададена тримерна координатна система K с линейно независими вектори $(e 1, e 2, e 3)$ търсим ново представяне спрямо различна координатна система K' представена с линейно независими вектори $(\bar e_1, \bar e_2, \bar e_3)$ . Линейната независимост между е1, е2 и е3 означава че нито един от векторите е1, е2 или е3 не може да бъде представен като линейна зависимост на другите два вектора.

Вектор А се представя в системата К чрез следните равенства:

A (a 1, a 2, a 3)

- Тук нарочно променяме мястото на индекса да бъде отгоре - за да можем по-лесно да различаваме координатите от единичните вектори.

$A = a^1 e_1 + a^2 e_2 + a^3 e_3 = \sum_{i=1}^3 a^i e_i$

В системата К'

$\bar A = \bar a^1 \bar e_1 + \bar a^2 \bar e_2 + \bar a^3 \bar e_3 = \sum_{i=1}^3 \bar a^i \bar e_i$

Такова представяне може да бъде направено за произволен вектор, включително и за координатните вектори:

$\bar e_1=S_1^1 e_1 + S_1^2 e_2 + S_1^3 e_3$

$\bar e_2=S_2^1 e_1 + S_2^2 e_2 + S_2^3 e_3$

$\bar e_3=S_3^1 e_1 + S_3^2 e_2 + S_3^3 e_3$

Тези формули ни дават правилото за трансформация на координатите от система К към система К'. Скаларната матрица $S_i^j$ определя как да се преизчислят всички величини в новата координатна система К', включителн базовите координатни вектори. Затова тази матрица се нарича транзиционна или трансформационна матрица.

По обратния начин можем да намерим взаимовръзката от К' към К:

$e_1=T_1^1 \bar e_1 + T_1^2 \bar e_2 + T_1^3 \bar e_3$

$e_2=T_2^1 \bar e_1 + T_2^2 \bar e_2 + T_2^3 \bar e_3$

$e_3=T_3^1 \bar e_1 + T_3^2 \bar e_2 + T_3^3 \bar e_3$

Матрицата $T_i^j$ ни дава обратната трансформация от К' към К. Тя е зависима от S и се нарича обратна трансформационна матрица.

Горните две формули могат да бъдат записани по-накратко съгласно означенията, въведени от Айнщайн:

$\bar e_i = S_i^1 e_1 + S_i^2 e_2 + S_i^3 e_3 = \sum_{j=1}^3 S_i^j e_j$

$e_i = T_i^1 \bar e_1 + T_i^2 \bar e_2 + T_i^3 \bar e_3 =\sum_{j=1}^j T_i^j \bar e_j$

(2.1)

Сега да разгледаме представянето на произволен вектор А(а1, а2, а3) $\vec A= a1 e_1 + a2 e_2 + a3 e_3 = \sum_{i=1}^3 ai e_i$

$e_i = T_i^1 \bar e_1 + T_i^2 \bar e_2 + T_i^3 \bar e_3$

$\vec A = \sum_{i=1}^3 ai e_i= \sum_{i=1}^3 ai ( T_i^1 \bar e_1 + T_i^2 \bar e_2 + T_i^3 \bar e_3) \bar e_j = \sum_{i=1}^3 ai \sum_{j=1}^3 T_i^j \bar e_j$

$= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 ai T_i^j \bar e_j = \sum_{j=1}^3 \sum_{i=1}^3 T_i^j ai \bar e_j = \sum_{j=1}^3 (\sum_{i=1}^3 T_i^j ai) \bar e_j$

Полагаме: $\bar aj = \sum_{i=1}^3 T_i^j ai \bar e_j$

И така получаваме формулата за вектор А, изразен спрямо две различни бази:

$A= \sum_{i=1}^3 ai e_i = \sum_{j=1}^3 \bar aj \bar e_j$

Ще спазваме условностите, приети за удобство при запис. Индексът на координатите го качваме горе и по този начин правим ясно разграничение между базовите вектори и координатите:

$A= \sum_{i=1}^3 a^i e_i = \sum_{j=1}^3 \bar a^j \bar e_j$

Вижда се че величината А не зависи от избора на базовите вектори. Промяната на базовите вектори променя координатите, но не променя посоката и дължината на А.

В сила са следните трансформационни правила:

(2.2)

-второто равенство е следствие от първото и представлява обратна трансформация от К' в К.

[редактиране] Матрично представяне

$\begin{Vmatrix}\bar a^1 \\ \bar a^2\\ \bar a^3 \end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix} T_1^1 & T_1^2& T_1^3 \\ T_2^1& T_2^2 &T_2^3 \\ T_3^1 &T_3^2 & T_3^3 &\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} a^1 \\ a^2 \\ a^3 \end{Vmatrix}$

$\begin{Vmatrix} a^1 \\ a^2 \\ a^3 \end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix} S_1^1 & S_1^2& S_1^3 \\ S_2^1& S_2^2 &S_2^3 \\ S_3^1 &S_3^2 & S_3^3 &\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix}\bar a^1 \\ \bar a^2\\ \bar a^3 \end{Vmatrix}$

Ако ползваме съкратен запис за матриците се получава следният резултат:

$\bar A = T A$

$A= S \bar A$

S = T - 1

За сравнение връзката между базовите вектори е обратна:

$\begin{Vmatrix}\bar e_1 \\ \bar e_2\\ \bar e_3 \end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} S_1^1 & S_1^2& S_1^3 \\ S_2^1& S_2^2 &S_2^3 \\ S_3^1 &S_3^2 & S_3^3 &\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} e_1 \\ e_2\\ e_3 \end{Vmatrix}$

В съкратена матрична форма:

$\bar E =\begin{Vmatrix}\bar e_1 \\ \bar e_2\\ \bar e_3 \end{Vmatrix} \qquad$ $E=\begin{Vmatrix} e_1 \\ e_2\\ e_3 \end{Vmatrix} \qquad$ $S= \begin{Vmatrix} S_1^1 & S_1^2& S_1^3 \\ S_2^1& S_2^2 &S_2^3 \\ S_3^1 &S_3^2 & S_3^3 &\end{Vmatrix}$

$\bar E = S E$

$E=T \bar E$

Сега вече можем да дадем дефиниция:

[редактиране] Дефиниция

Ковекторът представлява геометрически обект, представян с тройка координати (1,2,3) , за който са сила трансформационните правила:

$\bar a^j = \sum_{i=1}^3 T_i^j a^i \bar e_j$

$a^i = \sum_{j=1}^3 S_j^i a^j \bar e_j$

Ковекторът е много близък по смисъл до вектора, за да ги разграничаваме умишлено въведохме долен индекс за обозначение на векторите и горен индекс за обозначение на ковекторите. Друга разлика между вектор и ковектор се състои в следното: Можем да избираме произволна база вектори, но това не води до произволни координати на ковектора. Тройката координати на ковектора винаги се подчинява на трансформационните правила за права и обратна конверсия.