Механика на Лагранж
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Механика на Лагранж е пре-формулировка на класическата механика, въведена от Жозеф Луи Лагранж през 1788 г.
[редактиране] Уравнение на Лагранж
Уравненията, описващи движението в механиката на Лагранж са известни още като уравнения на Лагранж-Ойлер.
Да вземем частица с маса m и позиция описвана с векторна координата r. Силата, действаща върху тази частица може да се определи като градиент на скаларния потенциал на енергийната функция V(r, t):
Тъй като силата е независима от третата или по-висока степен производна на r, Втория закон на Нютон се свежда до 3 диференциални уравнения от втори род. Следователно движението е функция на 6 независими променливи или степени на свобода. Очевидeн е набора от кординати в Картезианка координатна система { rj, r′j | j = 1, 2, 3} и техните производни: в точка {x,y,z} скоростите:
- {vx,vy,vz}
Най-общо можем да вземем обобщени координати qj и техните времеви производни 
. Позицията на вектора r се описва чрез следното трансформационно равенство:
За пример вземаме махало с дължина l, избираме за координата ъгъла на отклонение спрямо вертикалата θ и получаваме следното трансформационно уравнение:
.
Разглеждаме произволно движение на махалото. Работата, извършена от приложената силаF е δW = F · δr. Ползвайки закона на Нютон получаваме:
След като работата е скаларна величина, можем да пренапишем равенството чрез използване на общите координати и техните призводни - скоростите. От лявата страна имаме:
От дясната страна е по-трудно, но след преобразуване получаваме:
![m \mathbf{r''} \cdot \delta \mathbf{r} = \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i](../../../math/f/8/c/f8cf1f09f23b068df858a447ce94c30a.png)
където T = 1/2 m r′ 2 е кинетичната енергия на частицата. Уравнението за извършената работа е:
![\sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] \delta q_i = 0.](../../../math/4/2/8/4287986690b58001c481edd261cbdcad.png)
Това уравнение би трябвало да е вярно за коя да е координатна ос: δqi, следователно получаваме:
![\left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0](../../../math/8/5/c/85c132634558cc57e477d1cb8c592a74.png)
за всяка координатаδqi. Можем още да опростим това уравнение забелязвайки че V е функция само на r и t, и r е функция само на координатите и на t. Следователно V е независимо от скоростите.
Замествайки това в предишното уравнение и заменяйки L = T - V, получаваме уравнението на Лагранж:
.
- L = T - V - оператор на Лагранж
Имаме по едно уравнение на Лагранж за всяка от координатните оси qi. Когато qi = ri - тоест при Картезиански координати уравнението на Лагранж се свежда до Втория закон на Нютон.
Същото уравнение може да бъде изведено и за система с N частици. Ще получим 6N общи координати, свързани с 3N трансформационни уравнения. Във всяко едно от тези 3N на брой уравнения на Лагранж T е общата кинетична енергия, V е потенциалната енергия.
В практиката често е по лесно да се реши уравнението на Лагранж отколкото уравненията на Нютон. Това е така, защото можем така да подберем координатите на системата- че да имаме симетрия и да намалим броя на решаваните уравнения.
[редактиране] Принцип на Хамилтон
Дайствието или работата S се дефинират като времеви интеграл върху оператора на лагранж:
.
Нека q0 и q1 да са координатите на началната и на крайната точка съответно с време t0 и t1. Ползвайки изчислителни методите от висшата математика се показва че Уравнението на Лагранж е равносилно на Принципа на Хамилтон:
Системата преминава от състояние q0 в q1 за времето между t0 и t1, като в точките q0 и q1 нямаме действие - тоест системата застава в покой. Под стационарно положение или покой се разбира че скоростта или първата производна на координатите в точки q0 в q1 е нулева.
Можем да се абстрахираме от наличието на приложената сила и да да разглеждаме това движение като от преместване моментно от една стационарна точка в друга и обратно. Принципът на хамилтон се нарича още принцип на най-малкото възможно действие.
[редактиране] Доразвитие на механиката на Лагранж
Операторът на Хамилтон се дефинира като трансформация на Лежандр върху оператора на Лагранж. Хамилтоновият оператор е основа за друга разновидност на класическата механика- известна като Механика на Хамилтон. Тази механика е особенно ценна при квантовата механика.
През 1948 г. Файнман изобрети интеграл по крива, доразвиващ принципа за действие в посоката на най-малкото съпротивление. При тази формулировка частиците пътуват едновременно по всички възможни траектории между началната и крайната точка и вероятността за намиране на една частица в крайната точка се получава като резултат от сумиране на всички възможни траектории, водещи до там. В класическия си вариант той се свежда до принципите на Хамилтоновата Механика.
