Уравнения на Максуел

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Уравненията на Максуел или уравнения на Максуел-Херц са система от четири уравнения, обобщени от Джеймс Кларк Максуел, които описват поведението на електрическото и магнитно полета, както и взаимодействието на последните с веществени среди.

Съдържание

1 Въведение
2 История на уравненията на Максуел и относителността
3 Обобщение на уравненията

[редактиране] Въведение

Четирите уравнения на Максуел показват:

взаимната зависимост на електрическото и магнитно полета,
съществуването на електромагнитни вълни,
крайната скорост на разпространение на електромагнитните вълни
разпространението на електромагнитното поле със скоростта на светлината, както и природата на светлината като електромагнитна вълна

През 1864 Максуел е първият, който обединява четирите основни уравнения на електромагнетизма в обща система. Той е и първият, който обръща внимание, че е необходима корекция на закона на Ампер, а именно: променливите електрични полета създават магнитни полета, както последните се създават и от токове (ток на отместване).

Освен това Максуел показва, че вълните, създадени от колебаещи се електрични и магнитни полета, се разпространяват във вакуум със скорост, която може да бъде предсказана с прости електрични експерименти. Използвайки тогавашните данни, Максуел получил скорост от 310 740 000 m/s.

Максуел (1865) пише:

„Тази скорост е толкова близка до тази на светлината, че изглежда имаме сериозна причина да заключим, че самата светлина е електромагнитно смущение във формата на вълни, разпространявано посредством електромагнитно поле и според законите за електромагнетизма.“

Максуел се оказва прав в това предположение, въпреки че не доживява неговото потвърждение (от Хайнрих Херц през 1888). Качественото характеризиране на светлината като електромагнитна вълна се счита за един от най-големите триумфи на физиката на 19 век. (Всъщност Майкъл Фарадей постулира същата представа за светлината през 1846, но не успява да даде качествено обяснение или да предскаже светлинната скорост. Това откритие полага основите на много бъдещи развои във физиката, като специалната теория на относителността.

[редактиране] История на уравненията на Максуел и относителността

Формулировката на Максуел от 1865 е съставена от 20 уравнения и 20 променливи, което включва няколко уравнения, сега считани за помощни на сега възприетите уравнения на Максуел – допълненият закон на Ампер (три уравнения от три компоненти), законът на Гаус за запазване на заряда (едно уравнение), връзката между плътността на пълния ток и плътността на тока на отместване (три уравнения), връзката между магнитното поле и вектор-потенциала (три уравнения, които изразяват отсъствието на магнитни заряди), връзката между електричното поле и скаларния и векторния потенциал (три уравнения, които изразяват закона на Фарадей), връзката между електричното поле и полето на отместване (три уравнения), законът на Ом относно плътността на тока и електричното поле (три уравнения), и уравнението за непрекъснатост относно плътността на тока и плътността на заряда (едно уравнение).

Модерната математическа формулировка на уравненията на Максуел е дело на Оливър Хевисайд и Уилард Гибс, който през 1884 преформулира оригиналната система уравнения на Максуел до много по-опростено представяне, използвайки векторния анализ. Промяната към векторни изрази създава симетрично математическо представяне, което подсилило възприятието за физическите симетрии между различните полета. Тази силно симетрична формулировка може да бъде пряко свързана с бъдещи фундаментални открития във физиката.

Към края на 19 век, поради появата на скоростта

$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$

в уравненията на Максуел, те са считани за изразяващи електромагнетизма само в светлинния етер (постулираната среда за разпространение на светлината, чиято интерпретация е сериозно оспорвана). Когато експериментът на Майкелсън-Морли, проведен от Едуард Морли и Алберт Абрахам Майкелсън, дава нулев резултат за промяната на скоростта на светлината при въртенето на Земята спрямо предполагаемия „етер”, Лоренц и други търсят алтернативни решения. Това търсене завършва кулминационно със специалната теория на относителността на Айнщайн, която предполага отсъствието на абсолютна координатна система в покой (или етер). Теорията допуска също така и инвариантност на уравненията на Максуел във всички относителни (инерциални) координатни системи.

Уравненията за електромагнитното поле имат вътрешна връзка със специалната теория на относителността: уравненията за магнитното поле могат да бъдат изведени от разглеждането на преобразуването на уравненията за електричното поле при релативистки трансформации при ниски скорости. (При относителността, уравненията са написани дори в по-компактна форма, „очевидно ковариантна“ форма, изразени като полеви тензор-4 от ранг-2, който обединява магнитното и електричното полета в едно).

Калуца и Клайн показват (1920), че уравненията на Максуел могат да се изведат чрез разширяване на общата теория на относителността в пет измерения. Тази стратегия за използване на повече измерения за обединяване на различни сили се прилага във физиката на елементарните частици.

[редактиране] Обобщение на уравненията

Всички променливи с удебелен шрифт представят векторни величини.

[редактиране] Общи уравнения

Второто уравнение е еквивалентно на твърдението, че не съществуват магнитни монополи.

Силата, упражнена върху заредена частица от електричното и магнитно полета, се получава от уравнението на Лоренц:

$\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),$

където q e зарядът на частицата, a v e скоростта на движение на частицата.

Уравненията на Максуел са приложени главно за макроскопично усреднени полета, които се променят динамично в микромащаб в околността на отделните атоми (където са подложени също и на квантовомеханични ефекти). Само в този макроскопичен смисъл (на усреднени стойности на полето) може да се дефинират величини като диалектричната и магнитна проницаемост на материалите. (Уравненията на Максуел в микроскопичен план, игнорирайки квантовите ефекти са просто тези във вакуум, по принцип трябва да се включат и всички заряди на атомно ниво и т.н., което е трудно решим проблем).

[редактиране] Линейни веществени среди

В линейни среди полетата D и В са свързани с E и H по следният начин:

$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$

$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$

където

ε е диелектричната проницаемост

μ е магнитната проницаемост

(Това всъщност може да се разшири и до анализ на нелинейни материали, чрез използването на ε и μ като зависими от силата на полето.)

В изотропна среда ε и μ са независими от времето скалари и уравненията на Максуел се ограничават във вида:

$\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{\frac{B}{\mu}} = \mathbf{J} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

В равномерни (хомогенни) среди ε и μ са константи независими от положението в пространството и така могат да бъдат взаимозаменяеми в различните производни по посока.

В по-общ случай ε и μ могат да бъдат тензори от ранг-2 (матрици 3х3) описващи двойно пречупващи (анизотропни) материали. Също, въпреки че за много цели зависимостта време/честота за тези константи може да се пренебрегне, всеки веществен обект проявява материална дисперсия, при която ε и/или μ зависят от честотата.

[редактиране] Във вакуум, без заряди и токове

Вакуумът е линейна, хомогенна, изотропна, без-дисперсионна среда и константите на пропорционалност във вакуум са означени с ε₀ и μ₀ (пренебрегвайки незначителни нелинейности от квантови ефекти). При вакуум и в отсъствие на токове и електрични заряди, се получават уравненията на Максуел в свободното пространство:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

Тези уравнения имат просто решение в израз на бягащи синусоидални плоски вълни, с взаимноперпендикулярни посоки на електричното и магнитно полета и посока на разпространение. Двете полета са във фаза и се разпространяват със скорост:

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

Максуел открива, че тази величина с е просто скоростта на светлината във вакуум и така също, че светлината е форма на електромагнитно лъчение.

[редактиране] Плътност на заряда, електрическо поле

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ ,

където ρ е свободната плътност на електричните заряди (в единици C/m³), което не включва свързаните диполни заряди в материята, D е електричната индукция (поле на отместване [C/m²]). Това уравнение съответства на закона на Кулон за стационарни заряди във вакуум.

Еквивалентната интегрална форма, още известна като закон на Гаус, е:

$\oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_\mbox{enclosed}$

където dA е диференциалната площ върху затворената повърхнина А с определяща посоката (на dA) нормала, насочена навън от повърхнината и Q_enclosed е свободният заряд, обхванат от повърхнината.

В линейни материални среди, D е директно свързана с електричното поле Е чрез материално зависимата константа, наречена диелектрична проницаемост, ε:

$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$ .

Всеки материал може да бъде третиран като линеен, доколкото електричното поле не е изключително силно. Диелектричната проницаемост на свободното пространство се означава с ε₀ и се записва в уравнението:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_t}{\varepsilon_0}$

където Е отново е електричното поле (в единици V/m), ρ_t е пълната плътност на заряда (включително и свързаните заряди), и ε₀ (приблизително 8,854 pF/m) е диелектричната проницаемост във вакуум (на свободното пространство). ε = ε₀*ε_r, където ε_r е относителната диелектрична проницаемост.

[редактиране] Структура на магнитното поле

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

В е магнитната индукция [Т], също наричана плътност на магнитният поток.

Интегрална форма:

$\oint_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$

dA е диференциалната площ от повърхнината А с посока съвпадаща с тази на нормалата насочена навън от повърхнината.

Както интеграла на електричното поле, това уравнение е в сила само ако се отнася за затворена повърхност.

Това уравнение се отнася за структурата на магнитното поле, защото то изразява, че за произволен обемен елемент, нетната големина на векторните компоненти, които сочат вън от повърхнината, обхващаща обема, трябва да е равна на нетната големина на векторните компоненти, които сочат към повърхнината. Структурно това означава, че линиите на магнитното поле са затворени линии (контури). Казано по друг начин, магнитните линии не могат да водят началото си от някъде. Опитът да се проследят линиите до техния източник или крайна точка в края на краищата води до връщане до стартовата точка. Следователно това е математическа формулировка на допускането, че няма магнитни монополи.

[редактиране] Общ вид на уравненията

Наименование	Диференциална форма	Интегрална форма
Закон на Гаус относно поток на електричната индукция	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho \cdot dV$
Закон на Гаус относно поток на магнитната индукция	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
Закон на Фарадей: за промяна на магнитната индукция	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt } \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
Закон на Ампер (в разширения от Максуел вариант):	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}$

[редактиране] Таблица на измервателните единици в електродинамиката

(съгласно международно приетата система SI):

Символ	Значение	Измервателна SI-единица
$\mathbf{E}$	Електрично поле (интензитет)	V/m волта на метър
$\mathbf{H}$	Интензитет на магнитното поле, наричано още спомагателно поле	A.m ампера по метър
$\mathbf{D}$	Електрична индукция (плътност на електричния поток)	C/m^{2 кулона на кв. метър}
$\mathbf{B}$	Магнитна индукция, наричана също плътност на магнитния поток или магнитно поле	T или W/m^{2 тесла, или вебера на кв. метър}
$\ \rho \$	Плътност на свободните електрични заряди не се включват свързаните диполни двойки	C/m^{2 кулона на куб. метър}
$\mathbf{J}$	Плътност на електричния ток не включва поляризационните токове и токовете на намагнитване в средата	A/m^{2 ампера на кв. метър}
$d\mathbf{A}$	Диференциален вектор, равен по дължина на площта на пренебрежимо малка област, с посока по нормалата към повърхността на тази област	m^{2 кв. метър}
$dV \$	Диференциален елемент от обема V, заграден от повърхност S	m^{3 куб. метър}
$d \mathbf{l}$	Диференциален вектор на елемента от пътя, с посока по тангентата към затворен контур C, заграждащ площ S	m метър
$\nabla \cdot$	Оператор дивергенция	1/m на метър
$\nabla \times$	Ротационел или завихряне	1/m на метър