Equacions de Maxwell

De Viquipèdia

Les equacions de Maxwell són un conjunt de quatre equacions que descriuen completament els fenòmens electromagnètics. La gran contribució de James Clerk Maxwell fou reunir en aquestes equacions molts anys de resultats experimentals i investigacions teòriques, deguts a Coulomb, Gauss, Ampère, Faraday i altres, introduint els conceptes de camp i de corrent de desplaçament, i unificant els camps elèctrics i magnètics en un sol concepte: el camp electromagnètic. De les equacions de Maxwella més, es desprèn l'existència d'ones electromagnètiques propagant-se amb velocitat c, el valor numèric de la qual coincideix amb el valor de la velocitat de la llum en el buit, amb la qual cosa Maxwell va identificar la llum amb una ona electromagnètica, unificant l'òptica amb l'electromagnetisme.

Taula de continguts

1 Interpretació física de les equacions
- 1.1 La conservació de la càrrega
- 1.2 La força de Lorentz
2 Les equacions de Maxwell en el buit
3 Les equacions de Maxwell en relativitat especial

La formulació moderna de les equacions de Maxwell és deguda a Oliver Heaviside i Josiah Willard Gibbs, que en 1884 reformularen les equacions originals de Maxwell en un sistema abreujat utilitzant notació vectorial. La formulació original de Maxwell datava de 1865 i contenia 20 equacions de 20 variables. La formulació vectorial resultava especialment atractiva perquè remarcava les simetries intrínseques en les equacions fent més fàcil la seva utilització.

Les equacions de Maxwell, en forma integral i diferencial són les següents (ambdues formes són totalment equivalents, es pot pasare d'una a l'altra amb les eines habituals del càlcul diferencial).

Nom	Forma diferencial	Forma integral
Llei de Gauss	$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$	$\oint_S \vec{D} \cdot \vec{dS} = Q_{i}$
Llei de Gauss per al magnetisme	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$	$\oint_S \vec{B} \cdot \vec{dS} = 0$
Llei de Faraday:	$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$	$\oint_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\int_{\partial C} \ {d\vec{B}\over dt} \cdot \vec{dS}$
Llei d'Ampère-Maxwell:	$\nabla \times \vec H = \vec{j} + \frac{\partial \vec D}{\partial t}$	$\oint_C \vec{H} \cdot \vec{dl} = \int_S \vec{j} \cdot \vec{dS} + {d \over dt} \int_S \vec{D} \cdot \vec{dS}$

Q és la càrrega elèctrica (unitat SI: coulomb).
ρ és la densitat de càrrega elèctrica (unitat SI: coulomb per metre cúbic), sense incloure càrregues dipolars lligades a un material.
$\vec{B}$ és la inducció magnètica (unitat SI: tesla, volt × segon per metre quadrat) $\vec{B} = \mu_0 \vec{H}$ .
$\vec{D}$ és el desplaçament elèctric (unitat SI: coulomb per metre quadrat) $\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$ .
$\vec{S}$ és l'àrea de la superficie gaussiana d'integració.
$\vec{E}$ és el camp elèctric (unitat SI: volt per metre).
$\vec{H}$ és el camp magnètic (unitat SI: ampere per metre).
$\vec{j}$ és la densitat de corrent elèctric (unitat SI: ampere per metre quadrat)
$\nabla \cdot$ és l'operador divergència (unitat del SI: 1 per metre)
$\nabla \times$ és l'operador rotacional (unitat del SI: 1 per metre)

Encara que es donen les unitats del sistema internacional d'unitats per a les diversos magnituds, les equacions de Maxwell es mantenen en altres sistemes d'unitats.

[edita] Interpretació física de les equacions

Les quatre equacions de Maxwell expresen, respectivament, com les càrregues elèctriques produeixen camps elèctrics (llei de Gauss), l'absència experimental de càrregues magnètiques (2a llei), com el corrent produeix camps magnètics (llei d'Ampère) i com els camps magnètics canviants produeixen camps elèctrics (llei de la inducció de Faraday).

[edita] La conservació de la càrrega

Les equacions de Maxwell duen implícites la llei de conservació de la càrrega:

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \nabla\cdot\vec J=0$

o, en forma integral,

$-\frac{d Q}{dt} = \oint \vec J\cdot d\vec A$

Aquesta llei expressa que la càrrega no es crea ni es destrueix, ni globalment ni localment, i que si donada una superfície tancada està disminuint la càrrega continguda en el seu interior, ha d'haver forçosament un flux de corrent net cap a l'exterior del sistema.

[edita] La força de Lorentz

Les equacions de Maxwell expressen com les càrregues i corrents creen camps elèctrics i magnètics, però no com aquests camps actuen sobre la matèria. Per a això necessitem la llei de força de Lorentz:

$\vec F = q(\vec E + \vec v\times \vec B)$

Aquesta llei ens diu quina força experimenta una càrrega puntual en moviment en el sí d'un camp electromagnètic. Si en lloc d'una càrrega puntual tenim una distribució de càrrega, la corresponent força per unitat de volum és:

$\vec f = \rho \vec E +\vec J \times \vec B$

i la resultant sobre tot el volum és la integral d'aquesta densitat estesa a tot el volum.

[edita] Les equacions de Maxwell en el buit

Com al buit no hi ha càrregues no corrents, les equacions de Maxwell es simplifiquen considerablement i s'obté:

$\nabla \cdot \vec{E} = 0$

$\nabla \cdot \vec{H} = 0$

$\nabla \times \vec{E} = - \mu_0 \frac{\partial\vec{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \vec{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$

Aquest conjunt d'equacions té una solució simple en termes d'ones planes sinusoidals que es propaguen, amb el camp eléctric i el magnètic oscil·lant en direcció perpendicular a la direcció de propagació i entre sí. La velocitat de propagació resulta ser

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

Maxwell descobrí que aquesta velocitat c és la velocitat de la llum en el buit i, per tant, que la llum és un tipus particular d'ona electromagnètica.

[edita] Les equacions de Maxwell en relativitat especial

En relativitat especial, per tal d'expressar més clarament que les equacions de Maxwell en el buit tenen la mateixa forma en qualsevol sistema de referència inercial, s'acostumen a escriure en termes de quadrivectors i tensors:

$J^ b = \partial_a F^{ab} \,\!$

$0 = \partial_c F_{ab} + \partial_b F_{ca} + \partial_a F_{bc}$

la darrera de les quals és equivalent a

$0 = \epsilon_{dabc}\partial^a F^{bc} \,\!$

on $\, J^a$ és el quadrivector corrent, $\, F^{ab}$ és el tensor electromagnètic (escrit com una matriu 4 × 4), $\, \epsilon_{abcd}$ és el símbol de Levi-Civita i $\partial_a = (\partial/\partial ct, \nabla)$ és el quadrigradient. La primera equació tensorial expressa les dues equacions de Maxwell inhomogènies: la lei de Gauss i la d'Ampère-Maxwell. La segona equació expressa les altres dues, homogènies: la llei de Faraday i la llei de Gauss per al camp magnètic.