Хиперболична спирала

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Хиперболичната спирала е равнинна трансцендентна крива, известна още като реципрочна спирала. Нейното уравнение в полярни координати е $r = \frac{a}{\theta}$ , като приликата му с уравнението на хиперболата в декартови координати обуславя избора на имената на кривата. Хиперболичната спирала е инверсна (обратна) на архимедовата спирала.

С други думи хиперболичната спирала се дефинира като геометричното място на точка, движеща се по равномерно въртящ се около полюса лъч, така че полярният й радиус да е обратно пропорционален на полярния ъгъл.

[редактиране] Уравнения

Представянето на спиралата с параметрични уравнения е особено елегантно:

в полярни координати: $x = r cosθ, y = r sinθ$ ,
и в декартови: $x = a \frac{\cos t}{t} , y = a \frac{\sin t}{t}$ .

Тъй като

$\lim_{t\to 0}x = a\lim_{t\to 0}{\cos t \over t}=\infty,$

$\lim_{t\to 0}y = a\lim_{t\to 0}{\sin t \over t}=a\cdot 1=a.$ ,

хиперболичната спирала има асимптота в y = a.

Принципно има два клона, които съответстват на положителните и отрицателните стойности на $θ$ , но поради спецификата на графиката й обикновено се изобразява само единият клон на спиралата. Тя започва от безкрайността и с нарастване на аргумента се приближава, извършвайки въртеливо движение, все по-стръмно към полюса, който представлява и асимптотична точка.

Дължината на дъга между две точки от хиперболичната спирала $M 1 (r 1,θ 1), M 2 (r 2,θ 2)$ се намира по формулата:

$L = a \left[ -\frac{\sqrt{1+\theta^2}}{\theta} + \ln{(1 + \sqrt{1 + \theta^2})} \right]_{\theta_1}^{\theta_2}$ ,

а лицето на повърхнината на сектора, съответстващ на дъгата $M 1 M 2$ е:

$S = \frac{a^2(r_1 - r_2)}{2}$

Радиусът на кривината на спиралата е равен на: $R = a / θ$ .

[редактиране] Исторически факти

Хиперболичната спирала е открита през 1704 г. от Пиер де Вариньон, но независимо от него - и от Йохан Бернули.

[редактиране] Използвани източници

"Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN: 954-584-146-Х
"Математический энциклопедический словарь", Ю. В. Прохоров, "Советская энциклопедия", Москва, 1988
"Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
"Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984