Число на Фибоначи

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Числата на Фибоначи в математиката образуват редица, която се дефинира рекурсивно по следния начин:

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)

Започва се с 0 и 1, а всеки следващ член на редицата се получава като сума на предходните два. Първите няколко числа на Фибоначи са

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

Ето някой от основните свойства на числата на Фибоначи:

(F(n),F(m))=1

(F(n),F(m))=F((m,n)) т.е. НОД на числата F(n) и F(m) e число на Фибоначи с индекс НОД(m,n)

F(n+k)=F(k-1)*F(n) + F(k)*F(n+1)

F(k)/F(kn) за произволно n

Числата на Фибоначи могат да се бележат и с u(n).

По-надолу можете да разгледате първите 100 члена на тази редица.

[редактиране] Произход

Италианският математик Фибоначи (Леонардо Биголо от Пиза) публикува в 1202 г. ред от числа, всяко от които се получава като сума от предходните две, като първите две числа са 1 и 2: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Той е научил за този ред от числа по време на пътешествията си в страните от тогавашния Изток и редът е бил наречен на негово име, защото го е популяризирал.

Оказва се, че колкото по-големи са числата от реда на Фибоначи, толкова отношението на двете последни числа се приближава до 'златното сечение' и в граничен преход (при безкраен брой числа в реда) става равно на 'златното сечение'.

Често редът на Фибоначи се свързва и със следната задача: чифт зайци (мъжки и женски екземпляр) могат да произведат за единица време (напр. един месец) нов чифт зайци, които продължават да се размножават (в класическата задача на Фибоначи на новородения чифт зайци са му необходими два месеца, за да дадат първото си поколение, след което продължават да се размножават всеки месец). Колко е броят на живите чифтове зайци след определено време, ако никой не унищожава зайците? Отговорът се дава от последното число в реда на Фибоначи. Разбира се, тази задача е чисто илюстративна.

Оказва се обаче, че твърде много закономерности, наблюдавани в природата и в поведението на човека, могат да се опишат, макар и с някаква по-малка или по-голяма грешка, с числа от реда на Фибоначи, въпреки, че в някои случаи това обяснение може да изглежда преднамерено.

Всъщност алгоритъмът за образуване на поредното число от реда на Фибоначи изразява факта, че следствието (последното число от реда) зависи от предисторията (причините) по конкретния за този ред начин, а именно: последното число е сума от двете предходни числа. Така този алгоритъм се включва в категорията на т.н. рекурентни формули. Доколко с алгоритъма на 'златното сечение' могат да се обяснят природни и човешки феномени зависи именно от това, доколко тези феномени са подчиняват на горната проста и същевременно съответстваща добре на 'здравия разум' рекурентна зависимост на следствието от причините, които го пораждат. До Фибоначи основните алгоритми за описване на възпроизвеждащи формули са били аритметичната и геометричната прогресии.