Златно сечение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Златно сечение (a+b)/a=a/b

Златно сечение (известно още като златна пропорция, златен коефициент или божествена пропорция) е ирационално число в математиката, което изрязява отношение на части, за които по-малката част се отнася към по-голямата, така както по-голямата към цялото. То се отбелязва с гръцката буква φ и има стойност приблизително равна на 1,618...

Златното сечение е не само математическо понятие, но е символ за красота, хармония и съвършентво в изкуството, науката и природата. Терминът "златно сечение" е въведен от Леонардо да Винчи като пропорция за "идеалното човешко тяло". Той е бил познат на египтяните и древните гърци още в античността. Представата за хармония и отношение e в основата на философските идеи на Питагор. Египетските пирамиди и Партенонът са пример за използването на пропорцията φ в архитектурата.

[редактиране] История

В достигналата до нас антична литература, златното сечение се среща за първи път в "Елементи" на Евклид. След Евклид, с изучаване на това отношение са се занимавали и други древногръцки философи. В средновековна Европа златното сечение достига чрез преводите на "Елементи" на Евклид, а преводачът Дж. Kампано от Навара (III в.) прави първите коментари към преводите. По това време тайните на златното отношение се пазели ревностно и били известни единствено на посветените.

Златното сечение се отбелязва с гръцката буква от φ - първата буква от името на древногръцкия склуптор Фидий.

В епохата на Ренесанса интересът на учениете и художниците към това число се усилил във връзка с неговото приложение в геометрията, в изкуството и най-вече в архитектурата. През 1509 г. във Венеция била издадена книгата на монаха Лука Пачоли "Божествена пропорция" с илюстрации, които се предполага, че са на Леонардо да Винчи. Книгата била възторжен химн на златното сечение, в която не се пропуска да се спомене дори "божествената същност" на числото като изражение на божието триединство.

Леонардо да Винчи също отделя голямо внимание на изучаването на златното отношение. Той го използва като пропорция за "идеалното човешко тяло". Именно той въвежда понятието "златно сечение" в резултат на множеството опити, които прави със сечения на стереометрично тяло, образувано от правилни петоъгълници, като достига до извода, че получените фигури са правоъгълници с отношение на страните равно на златното отношение.

По това време в северна Европа Албрехт Дюрер работи над същите проблеми. Според едно от неговите писма, той се е срещал с Лука Пачоли при едно от пребиваванията му в Италия. Албрехт Дюрер подробно разработва теорията за пропорциите на човешкото тяло. Важно място в неговата работа заема златното отношение. Той установил, че ръста на човек се дели в златно отношение от линията на кръста.

Астрономът Йохан Кеплер през 16-ти век нарича златното отношение едно от съкровищата на геометрията. Той пръв отбелязва приложението на златното сечение в ботаниката.

През 1855 г. немският иследовател Адолф Цайзинг публикува своя труд "Естетически изследвания", в който обявява златното сечение за универсално във всички явления в природата и изкуството. Цайзинг извършил около две хиляди измервания на човешки тела и достигнал до извода, че златното сечение изразява средно статистически закон. Той показва, че деленето на тялото в точката на пъпа е най-добрият пример на златно отношение. Пропорциите на мъжкото тяло се колебаят в пределите на отношението 13 : 8 = 1,625 и са много по-близки до златната пропорция отколкото женското тяло, чието средно отношение е 8 : 5 = 1,6. Пропорцията на златното сечение се проявява и при други части на тялото.

[редактиране] Математически свойства

[редактиране] Определяне на стойността

Две числа a и b са в зависимост, наречена златно сечение, ако отношението на по-малкото към по-голямото е равно на отношението на по-голямото към сбора им, което, записано в математически вид дава следната формула:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \qquad a > b$

При умножаване двете страни на равенството с a/b и заместване на a/b с φ се получава следното уравнение:

$\varphi^2 = \varphi + 1$ където $\varphi = \frac{a}{b}$

На това уравнение единственото положително решение е:

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339887...$

[редактиране] Алтернативни форми за представяне

Тъй като $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$ , то φ може да се представи като:

$\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}$

Друг начин на представяне следва от $\varphi^2 = 1 + \varphi$ , при заместване на φ:

$\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$

Също

$\varphi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ.\,$

което се получава от факта, че отношението на дължината на диагонала на правилен пентагон към негова страна е равно на φ.

[редактиране] Алгебрични свойства

От уравнението

$\varphi^2 = \varphi + 1$

следва, че φ е единственото положително число, което се превръща в реципрочното си при изваждане на единица:

$\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \approx 0,6180339887...$

Това число може да се срещне и с името сребърно сечение или сребърно отношение

Всяка степен на φ с цяло число може да се представи като сумата от степените на φ с двете по-малки цели числа

$\forall n\in\mathbb{N}, \quad \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}$

φ е също така границата, към която се стреми отношението на два последователни члена от реда на Фибоначи

$\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$

[редактиране] Геометрични свойства

Златното сечение е число, което често се явява в геометрията, и най-вече във фигури свързани с петоъгълна симетрия. Отношението на диагонал към страна в правилен петоъгълник е равна на φ.

[редактиране] Геометрично построяване

Построяване на златно сечение

Отсечката AB може да се раздели от т. S, така че $\frac{|AB|}{|AS|}=\frac{|AS|}{|SB|}=\varphi$ по следния начин:

в точка B се построява перпендикуляр към AB и върху тази права се определя точка C, така че BC да е равна на половината на AB
построява се окръжност с център точка C и радиус BC, която пресича AC в точка D
построява се окръжност с център точка A и радиус AD, която пресича AB в точка S

[редактиране] Златни геометрични фигури

Златен правоъгълник

Златна спирала в златен правоъгълник

Златен правоъгълник е правоъгълник, при който отношението на страните е равно на златното сечение.

При премахването на квадрат със страни равни на по-малката страна на златен правоъгълник, остатъкът е отново правоъглник със съотношение на страните равно на φ. Т.е. при премахването на квадрат от златен правоъгълник, се получава отново златен правоъгълник. Това се доказва лесно използвайки алгебричните свойства на φ и лицата на правоъгълниците.

При повтаряне на тази последователност се получава поредица от все по-малки златни правоъгълници, като диагоналите на всички малки правоъгълници лежат на диагоналите на първоначалния правоъгълник или на първия отрязан правоъгълник.

Златен триъгълник е равнобедрен триъгълник, при който отношението на дължините на бедрото и основата е равно на златното сечение.

Съществуват два вида триъгълници, при които отношението на бедрото и основата е равно на златното сечение: остроъгълни (при който основата е по-малка от бедрото и ъгли 36° на върха и 72° при основата) и тъпоъгълен (при който основата е по-голяма от бедрото и ъгли 108° на върха и 36° при основата). Вторият вид триъгълници, често се нарича сребърен триъгълник.

Във всеки златен триъгълник може да се впише едновременно един сребърен и един златен триъгълник, който е φ пъти по-малък.

Пентаграмът е фигура, образувана от 5 златни триъгълника, вписани в правилен петоъгълник Всяка от петте линии, съставящи тази фигура, дели другата в златно отношение.

Златна Спирала е спирала, която се образува при вписване на четвърт от окръжност във всеки квадрат получен при безкрайно разделяне на златен правоъгълник в поредица от все по-малки златни правоъгълници. Тази спирала се доближава до логаритмична спирала с център пресечената точка на диагоналите на първите два правоъгълника.

[редактиране] Златно сечение в архитектурата

Въпреки, че не съществуват писмени свидетелства, останали от древните египтяни, смята се, че те са познавали златното сечение, защото отношения близки до неговата стойност се срещат в пропорциите на пирамидите. Например отношението на височината на страна на пирамидата в Гиза към нейната дължина в основата е равно на φ/2.

Партенонът и Златното сечение

Древните гърци също са познавали това число благодарение на техните познания по геометрия, но не съществуват доказателства, че те са отдавали значение на златното сечение, за разлика от числото Пи например. Най-ярък пример за използането на отношението φ в гръцката архитектура е храмът Партенон в атинския Акропол, където златното сечение може да се намери в повечето архитектурни детайли. Цялостното присъствие на това отношение в Партенона, построен от Фидий, налага и използването на първата буква от неговото име φ за отбелязване на златното сечение.

Средновековните архитекти, подобно на древните гърци, са съчетавали изкуство и геометрия в своите творения и по този начин са използвали златното сечение в проектирането и строителството на църкви и катедрали. Като пример за златно отношение в средновековието може да се даде катедралата Парижката света богородица. На фасадата на тази катедрала се вижда, че всеки архитектурен елемент се отнася в към някой от останалите в златно сечение, както и, че цялата фасада се вписва в златен правоъгълник.

Принципът на златното сечение намира място и в съвременната архитектура. В средата на 20-ти век, швейцарският архитект Льо Корбюзие създава скала от отношения за архитектурни форми на базата на златното сечение, наречена Modulor, която се използва широко в модерната архитектура.

Взето от „http://bg.wikipedia.org../../../%D0%B7/%D0%BB/%D0%B0/%D0%97%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.html“.

Категории: Числа