Gravitační potenciální energie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Gravitační potenciální energie je jeden z druhů mechanické energie, kterou má těleso v gravitačním poli Země. Jedná se o druh potenciální energie.

Obsah

1 Značení
2 Výpočet
3 Podívejte se také na

[editovat] Značení

Značka: E_p
Základní jednotka SI: joule, zkratka J
Další jednotky: viz Energie

[editovat] Výpočet

[editovat] Homogenní gravitační pole

V homogenním gravitačním poli je velikost gravitační potenciální energie závislá na hmotnosti tělesa, na výšce, do které bylo zvednuto, a na gravitačním zrychlení. Velikost potenciální energie se rovná mechanické práci, která je na těleso vykonána při zvedání, přičemž nulová hodnota potenciální energie je kladena na povrch zdroje gravitačního pole. Hodnota potenciální energie je určena vztahem

$E_p = m g h \,$ ,

kde m je hmotnost tělesa, g je gravitační zrychlení, h je výška na povrchem.

Potenciální energie homogenního pole je tedy nulová na povrchu, s výškou roste a v nekonečnu dosahuje nekonečně velké (kladné) hodnoty.

[editovat] Radiální gravitační pole

I v radiálním gravitačním poli je gravitační síla závislá pouze na vzdálenosti od centra gravitačního působení. Radiální gravitační pole je tedy polem centrálních sil a jedná se tedy o konzervativní pole, což umožňuje definovat v tomto poli potenciál a potenciální energii.

Pro práci sil v radiálním gravitačním poli platí výraz

$W = \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)\varkappa mM$ ,

kde $\varkappa$ je gravitační konstanta, $M$ je hmotnost zdroje gravitačního pole, $m$ je hmotnost tělesa a $r 1, r 2$ označují vzdálenosti od středu gravitačního působení, ve kterých se nachází sledované těleso.

Vzhledem k tomu, že přírustek potenciální energie je roven záporné hodnotě vykonané práce, lze potenciální energii v radiální poli zapsat jako

$E_p = -\varkappa \frac{mM}{r} + C$ ,

kde $C$ je konstanta, která se určí vhodnou volbou hodnoty potenciální energie v některém bodě prostoru. Je zvykem volit potenciální energii tak, aby její hodnota v nekonečnu byla nulová, tzn.

$\lim_{r\to\infty} E_p = 0$

Z této podmínky pak pro potenciální energii radiálního gravitačního pole platí

$E_p = -\varkappa\frac{mM}{r}$

Pro potenciál gravitačního pole lze pak psát

$U = -\varkappa \frac{M}{r}$

kde $M$ představuje hmotnost zdroje gravitačního pole.

Potenciální energie radiálního pole je tedy nulová v nekonečnu, se zmenšující se vzdáleností od centra gravitačního působení její hodnota klesá (do záporných hodnot) a pro $\lim_{r\to 0}E_p$ dosahuje nekonečně velké (záporné) hodnoty.

[editovat] Zobecnění

V obecnějším případě je potenciální energie tělesa důsledkem působení (a prostorového rozložení) ostatních těles, která na sebe působí gravitační silou. Nulovou hladinu potenciální energie je vhodné klást do nekonečna, kde se předpokládá nulová hodnota gravitační síly. Přibližováním těles se energie snižuje (do záporných hodnot). Zvedání tělesa v gravitačním poli Země odpovídá oddalování těles, a tedy potenciální energie stoupne o hodnotu m . g . h , kde výška h odpovídá vzdálenosti, o kterou se zvětší vzdálenost těles.