Impulsová věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Impulsové věty popisují vztahy mezi hybností, resp. momentem hybnosti v soustavě hmotných bodů a silou, resp. momentem síly, působící na soustavu.

Impulsové věty představují pohybové rovnice soustavy hmotných bodů.

Obsah

1 Motivace
2 I. impulsová věta
- 2.1 Odvození
3 II. impulsová věta
- 3.1 Odvození
4 Podívejte se také na

[editovat] Motivace

Pohyb hmotného bodu popisují pohybové rovnice. Tyto pohybové rovnice lze napsat také pro soustavu hmotných bodů, čímž získáme soustavu vzájemně provázaných pohybových rovnic. Impulsové věta pak získáme úpravou pohybových rovnic soustavy hmotných bodů.

[editovat] I. impulsová věta

První impulsovou větu lze formulovat např. tak, že

časová změna celkové hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna výsledné vnější síle, která na soustavu působí

[editovat] Odvození

Pro $i$ -tý hmotný bod platí podle 2. Newtonova pohybového zákona rovnice

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_i}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_i$ ,

kde $\mathbf{p}_i=m_i\mathbf{v}_i$ je hybnost $i$ -tého hmotného bodu a $\mathbf{F}_i$ je síla, která na $i$ -tý hmotný bod působí.

Na hmotný bod, který je součástí soustavy působí kromě vnějších sil také síly vnitřní. Výsledná síla, která působí na $i$ -tý hmotný bod je dána vektorovým součtem výslednice vnějších sil $\mathbf{F}_i^\prime$ a výslednice vnitřních sil $\mathbf{F}_i^{\prime\prime}$ , které na daný hmotný bod působí, tzn.

$\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_i^\prime + \mathbf{F}_i^{\prime\prime}$ .

Má-li soustava $n$ hmotných bodů, lze pro každý z nich napsat předchozí rovnice. Těchto $n$ rovnic můžeme sečíst, tzn.

$\sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_i}{\mathrm{d}t} = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i^\prime + \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i^{\prime\prime} = \mathbf{F}$ ,

kde bylo využito toho, že výslednice vnitřních sil je nulová, tzn. $\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i^{\prime\prime} = 0$ a pro výslednici vnějších sil tedy platí $\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i^\prime = \mathbf{F}$ .

Předchozí vztah je možné přepsat do tvaru

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n m_i\mathbf{v}_i = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(M\mathbf{v}) = \mathbf{F}$ ,

kde $M=\sum_{i=1}^n m_i$ je celková hmotnost soustavy hmotných bodů a $\mathbf{F}$ je výsledná síla, která na soustavu působí.

Uvedená rovnice je matematickým vyjádřením I. impulsové věty (bývá také označována jako věta o hybnosti soustavy).

Časová změna celkové hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna výsledné vnější síle.

Celkovou hybnost soustavy lze vyjádřit jako

$\mathbf{p} = \sum_{i=1}^n \mathbf{p}_i = \sum_{i=1}^n m_i\mathbf{v}_i = M\mathbf{v}$ ,

kde $\mathbf{p}_i$ je hybnost $i$ -tého hmotného bodu. Celková hybnost soustavy je tedy rovna hybnosti těžiště o stejné hmotnosti jako má celá soustava. Rovnici vyjadřující I. impulsovou větu lze tedy nahradit vztahem

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(M\mathbf{v}) = M\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = M\mathbf{a} = \mathbf{F}$ ,

kde $M$ je celková hmotnost soustavy, kterou si představujeme jako soustředěnou v těžišti, a $\mathbf{a}$ je zrychlení těžiště soustavy.

Předchozí rovnice vlastně říká, že těžiště soustavy hmotných bodů se pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá hmotnost soustavy a působily na něj pouze vnější síly.

V případě, že na soustavu nepůsobí žádné vnější síly, tzn. $\mathbf{F}=0$ , nazýváme takovou soustavu izolovanou. Pro izolovanou soustavu platí zákon zachování hybnosti, což znamená, že celková hybnost izolované soustavy se zachovává.

To se někdy vyjadřuje také jako věta o zachování pohybu těžiště.

[editovat] II. impulsová věta

Druhou impulsovou větu lze vyjádřit tak, že

časová změna celkového momentu hybnosti soustavy hmotných bodů vzhledem k jeho těžišti nebo libovolnému pevnému bodu je rovna výslednému vnějšímu momentu síly vzhledem k danému bodu, který na soustavu působí

[editovat] Odvození

Pro $i$ -tý hmotný bod v soustavě hmotných bodů platí

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \mathbf{M}_i$ ,

kde $\mathbf{L}_i$ je moment hybnosti $i$ -tého hmotného bodu vzhledem k libovolnému pevnému bodu a $\mathbf{M}_i = \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i$ je výsledný moment působící na daný hmotný bod, přičemž $\mathbf{r}_i$ je polohový vektor hmotného bodu vzhledem k danému pevnému bodu a $\mathbf{F}_i$ je výslednice sil působících na $i$ -tý hmotný bod.

Uvážíme-li, že výsledná síla $\mathbf{F}_i$ působící na $i$ -tý hmotný bod je výslednicí vnějších a vnitřních sil, tzn. $\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_i^\prime + \mathbf{F}_i^{\prime\prime}$ , můžeme pro moment působící na daný bod psát

$\mathbf{M}_i = \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i = \mathbf{r}_i\times (\mathbf{F}_i^\prime + \mathbf{F}_i^{\prime\prime}) = (\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^\prime) + (\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i^{\prime\prime}) = \mathbf{M}_i^\prime + \mathbf{M}_i^{\prime\prime} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}$

Tuto rovnici je možné napsat pro každý z $n$ hmotných bodů soustavy. Vytvoříme-li takovouto soustavu $n$ rovnic, vztažených k pevnému bodu $O$ , získáme jejich sečtením

$\sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i^\prime + \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i^{\prime\prime} = \mathbf{M}$ ,

kde bylo využito toho, že součet mometů hybnosti vnitřních sil je nulový, tzn. $\sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i^{\prime\prime} = 0$ a celkový moment hybnosti vnějších sil je $\sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i^\prime = \mathbf{M}$ .

Záměnou sumace a derivace v předchozím vztahu dostaneme

$\sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$ ,

kde $\mathbf{L}$ je celkový moment hybnosti soustavy hmotných bodů.

Srovnáním předchozích vztahů dostaneme

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{M}$

Celkový moment hybnosti soustavy vzhledem k libovolnému bodu $O$ je dán vektorovým součtem momentů hybností jednotlivých hmotných bodů vzhledem ke stejnému bodu $O$ , tzn.

$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i$

Pro moment síly tak dostaneme výraz

$\mathbf{M} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i=1}^n \left(\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i\right) = \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{r}_i\times m_i\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t^2}\right) = \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i\right) = \sum_{i=1}^n\left(\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^\prime\right)$

Zapíšeme-li polohu $\mathbf{r}_i$ $i$ -tého hmotného bodu soustavy ve tvaru

$\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_T + \mathbf{s}_i$ ,

kde $\mathbf{r}_T$ je poloha těžiště vzhledem k bodu $O$ a $\mathbf{s}_i$ je poloha $i$ -tého hmotného bodu vzhledem k těžišti soustavy, dostaneme po dosazení do vztahu pro moment síly postupně následující výrazy

$\sum_{i=1}^n m_i\left[\left(\mathbf{r}_T + \mathbf{s}_i\right)\times\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_T}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}_i}{\mathrm{d}t^2}\right)\right] = \sum_{i=1}^n$ $\left[\left(\mathbf{r}_T + \mathbf{s}_i \right)\times\mathbf{F}_i^\prime \right]$

$\sum_{i=1}^n m_i\left[\left(\mathbf{r}_T\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_T}{\mathrm{d}t^2}\right) + \left(\mathbf{r}_T\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}_i}{\mathrm{d}t^2}\right) + \left(\mathbf{s}_i\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_T}{\mathrm{d}t^2}\right) + \left(\mathbf{s}_i\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}_i}{\mathrm{d}t^2}\right)\right] = \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{r}_T\times\mathbf{F}_i^\prime\right) + \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{s}_i\times\mathbf{F}_i^\prime\right)$

$\left(\mathbf{r}_T\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_T}{\mathrm{d}t^2}\right) \sum_{i=1}^n m_i + \left(\mathbf{r}_T\times\sum_{i=1}^n m_i\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}_i}{\mathrm{d}t^2}\right) - \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_T}{\mathrm{d}t^2}\times \sum_{i=1}^n m_i\mathbf{s}_i\right) + \sum_{i=1}^n m_i \left(\mathbf{s}_i\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}_i}{\mathrm{d}t^2}\right) = \left(\mathbf{r}_T\times \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i^\prime\right) + \sum_{i=1}^n\left(\mathbf{s}_i\times\mathbf{F}_i^\prime\right)$ ,

kde v posledním vztahu bylo využito skutečnosti, že $\mathbf{r}_T$ je pro všechny hmotné body soustavy stejné. Druhý a třetí člen na levé straně jsou nulové. Dostáváme tak výsledek

$\left(\mathbf{r}_T\times \sum_{i=1}^n m_i\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_T}{\mathrm{d}t^2}\right) + \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{s}_i\times m_i\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}_i}{\mathrm{d}t^2}\right) = \left(\mathbf{r}_T\times \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i^\prime\right) + \sum_{i=1}^n\left(\mathbf{s}_i\times\mathbf{F}_i^\prime\right)$

Podle I. impulsové věty se těžiště soustavy se pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá hmotnost soustavy a působily na něj vnější síly. To vede k závěru, že první člen na levé straně předchozí rovnice je shodný s prvním členem na pravé straně této rovnice a tedy se vzájemně vyruší

$\sum_{i=1}^n \left(\mathbf{s}_i\times m_i\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}_i}{\mathrm{d}t^2}\right) = \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{s}_i\times\mathbf{F}_i^\prime\right)$

Získanou rovnici lze přepsat do tvaru

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{s}_i\times m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{s}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_T}{\mathrm{d}t} = \mathbf{M}_T$ ,

kde $\mathbf{L}_T$ je výsledný moment hybnosti vzhledem k těžišti soustavy a $\mathbf{M}_T$ je celkový moment sil vzhledem k těžišti.

Předchozí rovnice představuje matematickou formulaci II. impulsové věty.

Pokud na soustavu nepůsobí žádné vnější síly, tzn. $\mathbf{F} = 0$ , pak mluvíme o izolované soustavě. V takovém případě platí zákon zachování momentu hybnosti, který říká, že moment hybnosti izolované soustavy vzhledem k jejímu těžišti nebo k libovolnému pevnému bodu se nemění.