Pohybová rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pohybová rovnice je matematicky zapsaný fyzikální vztah, který popisuje možné pohyby tělesa v daném prostředí. Tělesem se rozumí například klasické tuhé těleso nebo testovací částice, případně i soustava těles respektive částic. Prostředím se míní zejména síly a silová pole působící na těleso.

Řešením pohybové rovnice je poloha tělesa v libovolném okamžiku. V klasické mechanice tedy řešení popisuje trajektorii tělesa. V kvantové mechanice, která je pravděpodobnostní teorií, jde o poněkud obecnější problém, výsledkem je časově proměnná vlnová funkce.

Řešení obvykle není jednoznačné, protože v daném prostředí se lze pohybovat více způsoby. Pohyb je určen jednoznačně teprve po stanovení tzv. počátečních podmínek, například počáteční polohy a rychlosti tělesa.

Obsah

1 Tvar rovnice a počáteční podmínky
2 Klasická mechanika
- 2.1 Rovnoměrně zrychlený pohyb
- 2.2 Kmitavý pohyb
3 Mechanika tekutin
4 Kvantová mechanika
5 Relativistická kvantová mechanika
6 Obecná teorie relativity

[editovat] Tvar rovnice a počáteční podmínky

Pohybová rovnice v nejobecnějším tvaru je obvykle diferenciální rovnice druhého řádu, kde se derivuje podle času. V konkrétních případech se ale může výrazně zjednodušit. Jejím řešením je funkce popisující polohu v závislosti na čase $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ , což je vlastně parametrické vyjádření trajektorie.

Řád diferenciální rovnice určuje, jaké počáteční podmínky je třeba zadat, aby řešení bylo jednoznačné. Pro rovnici druhého řádu, je třeba zadat počáteční polohu a rychlost tělesa.

[editovat] Klasická mechanika

Vychází se z Newtonových pohybových zákonů. Zákon setrvačnosti definuje inerciální soustavu za účelem eliminace vnějších vlivů. Zákon síly pak dává přímo pohybovou rovnici ve tvaru:

$\mathbf{F} = m \frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\,,$

kde m je hmotnost tělesa násobená druhou časovou derivací vektoru polohy $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ , na levé straně je vektor působící síly. Za sílu se přitom dosadí funkce času, polohy nebo i rychlosti, podle konkrétní situace, tzn. $\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{v},t)$ . (Například v gravitačním poli síla závisí na vzdálenosti od centrálního tělesa. Odporová síla vzduchu závisí na rychlosti pohybu.) Přitom víme, že rychlost je také časová derivace polohy $\mathbf{v} = (\mathrm{d}\mathbf{r}/\mathrm{d}t)$ .

[editovat] Rovnoměrně zrychlený pohyb

Jde o pohyb v konstantním silovém poli, neboli všude a v každém okamžiku na těleso působí síla stejné velikosti a má směr souhlasný se směrem pohybu. Například na automobil působí tahová síla motoru. Jsou-li tedy všechny uvažované vektory rovnoběžné, nemusíme uvažovat vektorový charakter veličin. Rovnice se zjednoduší na tvar

$F = m \frac{\mathrm{d^2} s}{\mathrm{d}t^2}\,,$

kde $s = s (t)$ je dráha v okamžiku t. Síla F na levé straně v tomto případě na ničem nezávisí, je konstantní. Z matematiky diferenciálních rovnic vyplývá, že všechna řešení této rovnice mají tvar

$s = s_0 + v_0 t + \frac12 \frac{F}m t^2\,,$

kde F/m má význam zrychlení. Vidíme, že zrychlení nezávisí na čase, těleso při tomto silovém působení musí neustále rovnoměrně zrychlovat. Hodnoty $s 0$ a $v 0$ z rovnice nevyplývají, jde o počáteční podmínky: $s 0$ má význam počáteční polohy a $v 0$ je počáteční rychlost. Podmínky musí být dvě, jde o přímý důsledek faktu, že pohybová rovnice obsahuje druhou derivaci.

[editovat] Kmitavý pohyb

Mějme takové prostředí, že síla působící na těleso je přímo úměrná vzdálenosti od rovnovážné polohy a má směr k této poloze. Jde o tzv. harmonický oscilátor. Příkladem je závaží zavěšené na pružině (viz Hookův zákon) anebo válcová zkumavka se zatíženým dnem, která se pohupuje na hladině vody (viz Archimédův zákon). Pohybová rovnice pro tento případ má tvar

$-ky = m \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d}t^2}\,,$

kde $y = y (t)$ je výchylka z rovnovážné polohy, m je hmotnost tělesa. V případě pružiny má konstanta k význam tuhosti. Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru

$y = y_m\sin\left(\omega t + \varphi_0\right)\,,$

kde $\omega=\sqrt{k/m}$ má význam úhlové rychlosti. Těleso tedy zákonitě musí vykonávat harmonický (sinusový) pohyb. Parametry $y m$ a $\varphi_0$ jsou (opět dvě) počáteční podmínky, jejichž význam je maximální výchylka a počáteční fáze pohybu. Pro $y m = 0$ dostáváme $y (t) = 0$ , což znamená žádný pohyb. I to je možné řešení pohybové rovnice.

[editovat] Mechanika tekutin

Tekutinu lze považovat za soubor mnoha částic, v limitním případě nekonečně mnoha. Pohyb tekutin popisuje Mechanika kontinua pomocí parciálních diferenciálních rovnic. Pohybovými rovnicemi jsou Navierovy-Stokesovy rovnice.

[editovat] Kvantová mechanika

Pohyb v částicové kvantové mechanice je popsán časovým vývojem komplexní vlnové funkce. Přesná poloha částice není určena, lze určit pouze pravděpodobnost výskytu v dané oblasti prostoru. Základní pohybovou rovnicí je Schrödingerova rovnice:

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V \right) \psi \,,$

kde $i$ je imaginární jednotka, $\hbar$ je Planckova konstanta, $\psi=\psi({\mathbf r},t)$ je vlnová funkce, $m$ je hmotnost částice, $Δ$ je Laplaceův operátor. Silové pole je popsáno nikoliv pomocí intenzity pole ale potenciální energie, která závisí na poloze v prostoru a obecně i na čase: $V=V({\mathbf r},t)$ . Závorka na pravé straně rovnice je Hamiltonův operátor. Ten vyjadřuje celkovou energii částice jako součet kinetické a potenciální energie. Výraz na levé straně odpovídá působení operátoru energie na vlnovou funkci. Jde o parciální diferenciální rovnici nad komplexními čísly, protože vlnová funkce se tu derivuje jak podle času tak i prostorových souřadnic.

Na levé straně rovnice vystupuje první parciální derivace vlnové funkce podle času, na pravé straně se derivuje dvakrát podle prostorových souřadnic (Laplaceův operátor). To naznačuje, že Schrödingerova rovnice není v souladu se speciální teorií relativity, protože není invariantní vůči Lorentzově transformaci. Musela by zacházet s prostorovými i časovými souřadnicemi stejně. Pro relativistické případy je tedy třeba použít jiné rovnice.