Kirnbergerovo ladění

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kirnberger je nerovnoměrně temperované ladění, které na konci 18. století zkonstruoval německý hudební teoretik a skladatel Johann Philipp Kirnberger.

V Kirnbergerově době se používalo mnoho různých druhů ladění: středotónové (takto byly laděny zvláště varhany), velký počet různých druhů nerovnoměrně temperovaných ladění a prosazovat se začalo i rovnoměrně temperované ladění. V porovnání s ostatními nerovnoměrnými temperaturami se Kirnbergerovo ladění vyznačovalo relativně jednoduchou stavbou a silnou orientací na čisté intervaly. Kirnberger vytvořil tři typy ladění, dnes označovaná jako Kirnberger I (r. 1766), II (r. 1771) a III (r. 1779).

Kirnberger I: V tomto ladění jsou čtyři velké tercie čisté, ostatní tercie ale zní velmi disotantně a jsou přítomné i čtyři příliš široké pythagorejské velké tercie. Také kvinta D – A zní velice disonantně.
Kirnberger II: V tomto ladění již zní kvinta D – A přijatelněji, ale na úkor snížení počtu čistých velkých tercií na tři. Pythagorejské velké tercie zůstávají čtyři, hodnoty ostatních velkých tercií se v porovnání s Kirnberger I přiblížily čistým velkým terciím.
Kirnberger III: Všechny kvinty již znějí přijatelně, zůstala ale jen jedna čistá velká tercie, počet pythagorejských velkých tercií se omezil na dvě.

Obsah

1 Kirnberger I
- 1.1 Kirnberger I s racionálními čísly
2 Kirnberger II
3 Kirnberger III
4 Externí odkazy
5 Reference

[editovat] Kirnberger I

V tomto ladění se pythagorejské koma rozdělí mezi kvinty D – A (11/12 pythagorejského komatu) a F# – C# (1/12 pythagorejského komatu). Všechny ostatní kvinty zůstávají čisté.

Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy	Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy
C – G	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	F# – C#	$\frac{3}{2} : \sqrt[12]{\frac{3^{12}}{2^{19}}}$	kvinta zmenšená o 1/12 pythagorejského komatu	700,000
G – D	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	C# – G#(Ab)	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
D – A	$\frac{3}{2} : \sqrt[12]{\left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^{11}}$	kvinta zmenšená o 11/12 pythagorejského komatu	680,450	G#(Ab) – Eb	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
A – E	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	Eb – Bb	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
E – H	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	Bb – F	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
H – F#	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	F – C	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955

Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 1 až 2.

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{32}{27}$	1,185185185	294,14	malá tercie
Bb	$\frac{8}{9} \cdot \frac{2}{1} = \frac{16}{9}$	1,777777778	996,09	malá septima
F	$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$	1,333333333	498,05	kvarta
C	$\frac{1}{1} = 1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2}$	1,5	701,955	kvinta
D	$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{8}$	1,125	203,910	velká sekunda
A	$\frac{27}{16}:\sqrt[12]{\left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^{11}} = \frac{2^{13} \cdot \sqrt[12]{2^5}}{3^8}$	1,6666667899	884,36	velká sexta
E	$\frac{2^{12} \cdot \sqrt[12]{2^5}}{3^7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2^{11} \cdot \sqrt[12]{2^5}}{3^7}$	1,250000924	386,31	velká tercie
H	$\frac{2^{10} \cdot \sqrt[12]{2^5}}{3^6}$	1,875001386	1088,27	velká septima
F#	$\frac{2^{9} \cdot \sqrt[12]{2^5}}{3^5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2^{8} \cdot \sqrt[12]{2^5}}{3^5}$	1,40625104	590,23	zvětšená kvarta
C#	$\frac{2^{7} \cdot \sqrt[12]{2^5}}{3^4} \cdot \frac{1}{2}: \sqrt[12]{\frac{3^{12}}{2^{19}}} = \frac{2^8}{3^5} = \frac{256}{243}$	1,053497942	90,22	zvětšená prima
G#	$\frac{128}{81}$	1,580246914	792,18	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

Čtyři téměř čisté velké tercie (386,314 centů; tyto tercie jsou přibližně o 0,00128 centů širší než čisté): C-E, G-H, D-F#, F-A
Čtyři tercie blížící se pythagorejským velkým terciím (405,866 centů; tyto tercie jsou přibližně o 1,955 centů užší než pythagorejské), znějí disonantně: A-C#, E-G#, H-Eb, F#-Bb
Čtyři pythagorejské velké tercie (poměr frekvencí 81:64; 407,820 centů), znějí disonantně: C#-F, G#-C, Eb-G, Bb-D
Příliš úzká kvinta D-A (680,45 centů)

[editovat] Kirnberger I s racionálními čísly

Jak již bylo řečeno, v ladění Kirnberger I se pythagorejské koma rozdělí mezi kvinty D – A (11/12 pythagorejského komatu) a F# – C# (1/12 pythagorejského komatu). Jelikož rozdíl mezi 11/12 pythagorejského komatu a syntonickým komatem je velmi malý (asi 0,00128 centů) a rozdíl mezi 1/12 pythagorejského komatu a schismatem je také velmi malý (též asi 0,00128 centů), lze ladění Kirnberger I také zapsat tak, že kvinta D - A se zmenší o syntonické koma a kvinta F# - C# se zmenší o schisma. Toto ladění pak má tu výhodu, že se v něm objevují jen racionální čísla (dá se tedy řadit i mezi čistá ladění). Tato dva typy ladění (Kirnberger I s iracionálními čísly a Kirnberger I s racionálními čísly) nelze sluchem rozeznat.

Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy	Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy
C – G	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	F# – C#	$\frac{3}{2} : \frac{32805}{32768}$	kvinta zmenšená o schisma	700,001
G – D	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	C# – G#(Ab)	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
D – A	$\frac{3}{2} : \frac{81}{80}$	kvinta zmenšená o syntonické koma	680,449	G#(Ab) – Eb	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
A – E	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	Eb – Bb	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
E – H	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	Bb – F	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
H – F#	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	F – C	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{32}{27}$	1,185185185	294,14	malá tercie
Bb	$\frac{8}{9} \cdot \frac{2}{1} = \frac{16}{9}$	1,777777778	996,09	malá septima
F	$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$	1,333333333	498,05	kvarta
C	$\frac{1}{1} = 1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2}$	1,5	701,955	kvinta
D	$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{8}$	1,125	203,910	velká sekunda
A	$\frac{27}{16}:\frac{81}{80} = \frac{5}{3}$	1,666666667	884,36	velká sexta
E	$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$	1,25	386,31	velká tercie
H	$\frac{15}{8}$	1,875	1088,27	velká septima
F#	$\frac{45}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{45}{32}$	1,40625	590,22	zvětšená kvarta
C#	$\left(\frac{135}{64} : \frac{32805}{32768}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{256}{243}$	1,053497942	90,22	zvětšená prima
G#	$\frac{128}{81}$	1,580246914	792,18	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

Čtyři čisté velké tercie (poměr frekvencí 5:4; 386,314 centů): C-E, G-H, D-F#, F-A
Čtyři pythagorejské velké tercie (poměr frekvencí 81:64; 407,820 centů), znějí disonantně: C#-F, Ab-C, Eb-G, Bb-D
Čtyři tercie blížící se pythagorejským velkým terciím (405,866 centů; tyto tercie jsou přibližně o 1,955 centů užší než pythagorejské), znějí disonantně: A-C#, E-G#, H-Eb, F#-Bb
Příliš úzká kvinta D-A (680,449 centů)

Může nás překvapit, že porovnáme-li si toto ladění s laděním Parejovým, které bylo popsáno o tři století dříve (1482), není tu prakticky žádný rozdíl. Jediný rozdíl je v tom, že zatímco Pareja má o syntonické koma zúženou kvintu G-D, Kirnberger I ji má posunutou mezi tóny D-A. Druhý, prakticky nepodstatný rozdíl je v tom, že zatímco rovnoměrně temperovaná kvinta leží u Pareji mezi tóny Cis-Gis, Kirnberger I ji má posunutou mezi tóny Fis-Cis.

Je zajímavé, že i když Kirnberger (který byl krátký čas i žákem J.S Bacha) znal kromě středotónového ladění i rovnoměrnou temperaturu , byl si dobře vědom i jejích nedostatků a proto se ve svém hledání té nejlepší temperatury vrací ke starým osvědčeným schématům, odvozeným z čistých kvint pythagorejského ladění.

[editovat] Kirnberger II

V tomto ladění se rozdělí syntonické koma mezi kvinty D – A a A – E (každá se zmenší o polovinu syntonického komatu), kvinta F# – C# se zmenší o schisma (pythagorejské koma = syntonické koma + schisma). Všechny ostatní kvinty zůstávají čisté.

Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy	Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy
C – G	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	F# – C#	$\frac{3}{2}:\frac{32805}{32768}$	kvinta zmenšená o schisma	700,001
G – D	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	C# – G#(Ab)	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
D – A	$\frac{3}{2}:\sqrt{\frac{81}{80}}$	kvinta zmenšená o polovinu syntonického komatu	691,202	G#(Ab) – Eb	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
A – E	$\frac{3}{2}:\sqrt{\frac{81}{80}}$	kvinta zmenšená o polovinu syntonického komatu	691,202	Eb – Bb	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
E – H	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	Bb – F	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
H – F#	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	F – C	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{32}{27}$	1,185185185	294,14	malá tercie
Bb	$\frac{8}{9} \cdot \frac{2}{1} = \frac{16}{9}$	1,777777778	996,09	malá septima
F	$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$	1,333333333	498,05	kvarta
C	$\frac{1}{1} = 1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2}$	1,5	701,955	kvinta
D	$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{8}$	1,125	203,910	velká sekunda
A	$\frac{27}{16}:\sqrt{\frac{81}{80}} = \frac{3\sqrt{5}}{4}$	1,677050983	895,11	velká sexta
E	$\left(\frac{81}{32}:\frac{81}{80}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$	1,25	386,31	velká tercie
H	$\frac{15}{8}$	1,875	1088,27	velká septima
F#	$\frac{45}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{45}{32}$	1,40625	590,22	zvětšená kvarta
C#	$\left(\frac{45}{32} \cdot \frac{3:2}{32805:32768}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{256}{243}$	1,053497942	90,22	zvětšená prima
G#	$\frac{128}{81}$	1,580246914	792,18	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

Tři čisté velké tercie (poměr frekvencí 5:4; 386,314 centů): C-E, G-H, D-F#
Čtyři pythagorejské velké tercie (poměr frekvencí 81:64; 407,820 centů), znějí disonantně: C#-F, Ab-C, Eb-G, Bb-D
Zbývající velké tercie jsou širší než čisté: A-C# (395,113 centů), E-G#, H-Eb, F#-Bb (405,866 centů), F-A (397,067 centů)

[editovat] Kirnberger III

V tomto ladění se syntonické koma rozdělí mezi kvinty C – G, G – D, D – A a A – E (tyto kvinty se tedy počítají stejně jako ve středotónovém ladění). Kvinta F# – C# je zmenšená o schisma, zbývající kvinty jsou čisté.

Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy	Kvinta	Poměr frekvencí	Popis	Centy
C – G	$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{1}{4}}$	kvinta zmenšená o čtvrtinu syntonického komatu	696,578	F# – C#	$\frac{3}{2}:\frac{32805}{32768}$	kvinta zmenšená o schisma	700,001
G – D	$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{1}{4}}$	kvinta zmenšená o čtvrtinu syntonického komatu	696,578	C# – G#(Ab)	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
D – A	$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{1}{4}}$	kvinta zmenšená o čtvrtinu syntonického komatu	696,578	G#(Ab) – Eb	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
A – E	$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{1}{4}}$	kvinta zmenšená o čtvrtinu syntonického komatu	696,578	Eb – Bb	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
E – H	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	Bb – F	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955
H – F#	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955	F – C	${3}:{2}\;$	čistá kvinta	701,955

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{32}{27}$	1,185185185	294,14	malá tercie
Bb	$\frac{8}{9} \cdot \frac{2}{1} = \frac{16}{9}$	1,777777778	996,09	malá septima
F	$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$	1,333333333	498,05	kvarta
C	$\frac{1}{1} = 1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{5}$	1,49534878122	696,58	kvinta
D	$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{2}{4}} = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2}$	1,11803398875	193,16	velká sekunda
A	$\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} \cdot \frac{1}{2}$	1,67185076244	889,74	velká sexta
E	$\frac{81}{16} \cdot \frac{1}{4}:\frac{81}{80} = \frac{5}{4}$	1,25	386,31	velká tercie
H	$\frac{15}{8}$	1,875	1088,27	velká septima
F#	$\frac{45}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{45}{32}$	1,40625	590,22	zvětšená kvarta
C#	$\left(\frac{135}{64}:\frac{32805}{32768}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{256}{243}$	1,053497942	90,22	zvětšená prima
G#	$\frac{128}{81}$	1,580246914	792,18	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

Jedna čistá velká tercie (poměr frekvencí 5:4; 386,314 centů): C-E
Dvě pythagorejské velké tercie (poměr frekvencí 81:64; 407,820 centů), znějí disonantně: C#-F, Ab-C
Zbývající velké tercie jsou širší než čisté: G-H, F-A (391,691 centů), D-F# (395,113 centů), A-C# (400,489 centů), E-G#, H-Eb, F#-Bb (405,866 centů), Eb-G (402,444 centů) a Bb-D (397, 067 centů)

[editovat] Externí odkazy

[editovat] Reference

KIRNBERGER, Johann Philipp. Clavieruebungen mit der Bachisten Applicatur, in einer Folge von den leichtesten bis zu den schwersten Stuecken, vierte Sammlung. Berlin: [s.n.], 1766.
KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 1. Teil. Berlin: [s.n.], 1771.
KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 1. Teil. Berlin und Koenigsberg: [s.n.], 1774.
KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 2. Teil in 3 Abteilungen. Berlin und Koenigsberg: [s.n.], 1776.
KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 2. Teil in 3 Abteilungen. Berlin und Koenigsberg: [s.n.], 1777.
KIRNBERGER, Johann Philipp. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik, aus sichern Grundsaetzen hergeleitet und mit deutlichen Beyspielen erl., 2. Teil in 3 Abteilungen. Berlin und Koenigsberg: [s.n.], 1779.