Kompaktní množina
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Kompaktní množina je taková množina bodů topologického prostoru, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat pokrytí konečné.
V Euklidovských prostorech jsou kompaktní množiny právě omezené a uzavřené podmnožiny. Například v množině reálných čísel R je uzavřený interval [0, 1] kompaktní množinou, ale množina celých čísel Z nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.
Na metrických prostorech lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí posloupností: kompaktní množina je taková množina, že z každé posloupnosti v této množině lze vybrat posloupnost konvergentní. Kompaktní množina je na těchto prostorech uzavřená a omezená.
V konečnědimenzionálních normovaných vektorových prostorech je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená.
Obsah |
[editovat] Kompaktní prostor
Je-li kompaktní množina prostorem (topologickým, vektorovým, metrickým), pak hovoříme o kompaktním prostoru.
Prostor se označuje jako lokálně kompaktní, existuje-li ke každému jeho bodu kompaktní okolí.
[editovat] Příklady kompaktních množin
- prázdná množina
- Cantorova množina
- libovolný konečný topologický prostor
- pokud a a b jsou reálná čísla, je interval [a, b] kompaktní množinou v množině reálných čísel.
- uzavřená jednotková koule v konečnědimenzionálním normovaném vektorovém prostoru
[editovat] Vlastnosti
- Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktním prostorem.
- Při spojitém zobrazení je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina.
- Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená.
