Riemannova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Riemannova funkce je funkce, která je definovaná na oboru všech reálných čísel a přitom je spojitá právě v iracionálních bodech.

[editovat] Definice a graf

Náznak grafu Riemannovy funkce. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. století k pochybám, zda Riemannova funkce je skutečně funkcí či jakousi "příšerou", která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Riemannova funkce R(x) je definována následujícím předpisem:

[editovat] Vlastnosti

Riemannova funkce má následující vlastnosti:

• Není spojitá v žádném racionálním bodě.
• Je spojitá v každém iracionálním bodě.
• Pro každé reálné číslo a platí .
• Není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě.
• Nabývá ostrého lokálního maxima v každém racionálním bodě a neostrého globálního minima v každém iracionálním bodě.
• Lebesgueův integrál přes celý definiční obor je roven 0, její Newtonův integrál neexistuje.

[editovat] Podívejte se také na

• Bernhard Riemann
• Dirichletova funkce
• Peanova křivka