Iracionální číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice je iracionální číslo každé reálné číslo které není racionálním číslem, tedy takové, které nelze vyjádřit ve tvaru zlomku, tzn. nelze jej zapsat jako podíl dvou celých čísel

a/b

kde a a b jsou celá čísla a b není nula. Takové číslo má neukončený a neperiodický desetinný rozvoj.

Mezi nejznámější iracionální čísla patří například Ludolfovo číslo nebo Eulerovo číslo. Tato čísla jsou dokonce transcendentní – neexistuje žádný polynom s celočíselnými koeficienty, jehož by byly řešením. Příkladem čísla, které je iracionální, ale ne transcendentní, je $\sqrt 2$ .

[editovat] Historie

Objev je připisován matematikovi Pythagorovy školy jménem Hippasus, který dokázal, že uhlopříčka jednotkového čtverce nemůže být vyjádřena racionálním číslem. Podle pověsti byl Hippasus svržen z lodi do moře a utopen, aby tento objev zůstal utajen.

[editovat] Důkaz

Dokázat existenci iracionálního čísla lze následujícím postupem.

Předpokládejme, že $\sqrt{2}$ je racionální číslo, což znamená, že by měla existovat přirozená čísla $a, b$ taková, že $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ , přičemž budeme předpokládat, že daná čísla $a, b$ nemají společného dělitele
Umocněním obou stran $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ dostaneme $\frac{a^2}{b^2} = 2$ , neboli $a 2 = 2 b 2$ .
Podle předchozího bodu je $a 2$ sudé číslo. Využijeme-li toho, že druhá mocnina sudého čísla je opět sudé číslo, zatímco druhá mocnina lichého čísla je lichým číslem, můžeme tvrdit, že číslo $a$ je sudé.
Je-li číslo $a$ sudé, je možné jej vyjádřit jako $a = 2 r$ , kde $r$ je libovolné přirozené číslo.
Dosadíme-li $a = 2 r$ do vztahu $a 2 = 2 b 2$ , dostaneme $4 r 2 = 2 b 2$ , což lze upravit na $2 r 2 = b 2$ .
Podle posledního vztahu je však číslo $b 2$ sudé. Podobně jako v případě čísla $a 2$ lze ukázat, že také číslo $b$ je sudé.
Obě čísla $a$ i $b$ jsou sudá a tedy dělitelná 2. To je však v rozporu s předpokladem, že čísla $a, b$ nemají společného dělitele. Původní předpoklad o existenci přirozených čísel $a, b$ tey neplatí a číslo $\sqrt{2}$ nelze vyjádřit ve tvaru zlomku, což znamená, že číslo $\sqrt{2}$ je iracionální.

Důkaz iracionality Ludolfova čísla resp. Eulerova čísla je obtížnější a podařil se teprve v druhé polovině osmnáctého století.

Dokázat existenci iracionálních čísel je možné také nekonstruktivně. Protože každé racionální číslo je možné vyjádřit podílem dvou celých čísel, racionálních čísel je spočetně mnoho. Ale reálných čísel je nespočetně mnoho, tedy více než racionálních, a proto musí existovat iracionální čísla.