Seznam integrálů inverzních trigonometrických funkcí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

logaritmické funkce
exponenciální funkce
hyperbolické funkce
inverzní hyperbolické funkce
trigonometrické funkce
inverzní trigonometrické funkce
racionální funkce
iracionální funkce

Toto je seznam integrálů (primitivních funkcí) pro integrandy obsahující inverzní trigonometrické funkce.

[editovat] Arkussinus

$\int \arcsin \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \arcsin \frac{x}{c} + \sqrt{c^2 - x^2}$

$\int x \arcsin \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{c^2}{4} \right) \arcsin \frac{x}{c} + \frac{x}{4} \sqrt{c^2 - x^2}$

$\int x^2 \arcsin \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} \arcsin \frac{x}{c} + \frac{x^2 + 2c^2}{9} \sqrt{c^2 - x^2}$

$\int x^n \arcsin x \ \mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsin x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^2} - n x^{n - 1} \arcsin x}{n - 1} + n \int x^{n - 2} \arcsin x \ \mathrm{d}x \right)$

[editovat] Arkuskosinus

$\int \arccos \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \arccos \frac{x}{c} - \sqrt{c^2 - x^2}$

$\int x \arccos \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{c^2}{4} \right) \arccos \frac{x}{c} - \frac{x}{4} \sqrt{c^2 - x^2}$

$\int x^2 \arccos \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} \arccos \frac{x}{c} - \frac{x^2 + 2c^2}{9} \sqrt{c^2 - x^2}$

[editovat] Arkustangens

$\int \arctan \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \arctan \frac{x}{c} - \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2)$

$\int x \arctan \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{ (c^2 + x^2) \arctan \frac{x}{c} - c x}{2}$

$\int x^2 \arctan \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} \arctan \frac{x}{c} - \frac{c x^2}{6} + \frac{c^3}{6} \ln(c^2 + x^2)$

$\int x^n \arctan \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \arctan \frac{x}{c} - \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \ \mathrm{d}x, \quad n \neq 1$

[editovat] Arkussekans

$\int \arcsec \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \arcsec \frac{x}{c} + \frac{x}{c |x|} \ln \left| x \pm \sqrt{x^2 - 1} \right|$

$\int x \arcsec x \ \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left( x^2 \arcsec x - \sqrt{x^2 - 1} \right)$

$\int x^n \arcsec x \ \mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsec x - \frac{1}{n} \left[ x^{n - 1} \sqrt{x^2 - 1} + (1 - n) \left( x^{n - 1} \arcsec x + (1 - n) \int x^{n - 2} \arcsec x \ \mathrm{d}x \right) \right] \right)$

[editovat] Arkuskotangens

$\int \arccot \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2)$

$\int x \arccot \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{c^2 + x^2}{2} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x}{2}$

$\int x^2 \arccot \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x^2}{6} - \frac{c^3}{6} \ln(c^2 + x^2)$

$\int x^n \arccot \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n+1} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \ \mathrm{d}x, \quad n \neq 1$