Sférické harmonické funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření multipólového rozvoje v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření.

[editovat] Úvod

Sloupce: l=0 do 4
Řádky: m=0 do ±4
Dvě neimaginární sférické harmoniky, které jsou lineární kombinací Y_l,m a Y_l,-m jsou shodné, ale navzájem otočené o 90 stupňů kolem osy z.

Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:

${1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0$

(viz sférická soustava souřadnic).

Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.

Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu je lineární kombinací funkcí ve tvaru

$r^{-1-\ell} \cos (m \varphi) P_\ell^m (\cos{\theta} )$

$r^{-1-\ell} \sin (m \varphi) P_\ell^m (\cos{\theta} )$

kde $P_\ell^m$ jsou přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry $\ell \ge 0$ a m od 0 do $\ell$ .

Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry $\ell \ge 0$ a m od $- \ell$ do $\ell$ lze psát jako lineární kombinaci:

$U_{\ell,m}(r,\theta , \varphi ) = r^{-1-\ell} Y_\ell^m( \theta , \varphi )$

kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l, m, které lze psát jako:

$Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \cdot e^{i m \varphi } \cdot P_\ell^m ( \cos{\theta} )$

Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δ_aa = 1 a δ_ab = 0 pokud a ≠ b)

$\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^mY_{\ell'}^{m'*}\,\mathrm{d}\Omega=\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'},\quad\quad \mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta$

platí pro ně

$Y_{\ell}^{-m}( \theta , \varphi )=\left(-1\right)^m Y_{\ell}^{m*}( \theta , \varphi )$

a splňují relace úplnosti

$\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell}^{m}( \theta , \varphi ) Y_{\ell}^{m*}( \theta ', \varphi ') = \delta\left(\cos\theta-\cos\theta'\right)\delta\left(\varphi-\varphi'\right),$

kde δ(x) je Diracova delta funkce.

Y₁
Y₂
Y₃

Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako

$Y_\ell^0\quad\quad \mbox{ pro }\ 0\le\ell\le\infin$

${1\over\sqrt2}\left((-1)^mY_\ell^m+Y_\ell^{-m}\right)\quad\quad \mbox{ pro } \ 0\le\ell\le\infin,\ 1\le m\le \ell$

${1\over i\sqrt2}\left((-1)^mY_\ell^m-Y_\ell^{-m}\right)\quad\quad \mbox{ pro } \ 0\le\ell\le\infin,\ 1\le m\le \ell$

Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením

$\cos\theta={z\over r},\qquad e^{\pm ni\varphi}\cdot\sin^n\theta={(x\pm iy)^n\over r^n},\qquad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

[editovat] Prvních několik sférických harmonik

Zde jsou první sférické harmoniky:

$Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}$

$Y_{1}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x-iy)\over r}$

$Y_{1}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot{z\over r}$

$Y_{1}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x+iy)\over r}$

$Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta$

$Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta$

$Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot(3\cos^{2}\theta-1)$

$Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta$

$Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta$

$Y_{3}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{7\over \pi}\cdot(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$

Další sférické harmoniky do Y₁₀

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../s/f/%C3%A9/Sf%C3%A9rick%C3%A9_harmonick%C3%A9_funkce.html“

Kategorie: Matematické funkce

Sférické harmonické funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

[editovat] Úvod

[editovat] Prvních několik sférických harmonik

Views

Navigace

Hledání

V jiných jazycích