Vázaný extrém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pokud hledáme extrémy funkce $z = f (x, y)$ , přičemž tyto extrémy musí vyhovovat dodatečné podmínce zadané rovnicí $g (x, y) = 0$ , pak takové extrémy označujeme jako vázané.

Obsah

1 Definice
2 Určení extrému
- 2.1 Převedení na funkci jedné proměnné
  - 2.1.1 Příklad
- 2.2 Lagrangeova metoda neurčitých koeficientů
  - 2.2.1 Příklad
3 Vázané extrémy funkcí více proměnných
4 Podívejte se také na
- 4.1 Literatura

[editovat] Definice

Pokud v okolí bodu $[x 0, y 0]$ platí $f(x_0,y_0) \geq f(x,y)$ a současně $g (x 0, y 0) = 0$ , pak se v bodě $[x 0, y 0]$ nachází vázané lokální maximum funkce $f$ . Pokud v okolí bodu $[x 0, y 0]$ platí $f(x_0,y_0) \leq f(x,y)$ a současně $g (x 0, y 0) = 0$ , pak se v bodě $[x 0, y 0]$ nachází vázané lokální minimum funkce $f$ . Tyto body představují vázané lokální extrémy funkce $f$ .

Jsou-li uvedené nerovnosti v okolí bodu $[x 0, y 0]$ ostré, tzn. $f (x 0, y 0) > f (x, y)$ , resp. $f (x 0, y 0) < f (x, y)$ , pak hovoříme o ostrém vázaném lokálním extrému, tedy o ostrém vázaném lokálním maximu, resp. ostrém vázaném lokálním minimu.

Pokud uvedené podmínky platí nejen v okolí bodu $[x 0, y 0]$ , ale v celém definičním oboru funkce, pak hovoříme o globálním vázaném extrému, tedy o globálním vázaném maximu nebo globálním vázaném minimu.

[editovat] Určení extrému

[editovat] Převedení na funkci jedné proměnné

Pokud lze z podmínky $g (x, y) = 0$ vyjádřit některou proměnou, např. $y = u (x)$ , pak můžeme tento výraz dosadit do funkce $z = f (x, y)$ , čímž se problém hledání vázaného extrému převede na hledání extrému funkce jedné proměnné $z = f (x, u (x))$ .

[editovat] Příklad

Určeme vázané extrémy funkce $z = x 2 + y 2$ s podmínkou $x + y = 2$ .

Podmínku vyjádříme jako $y = 2 - x$ a dosadíme do funkce $z$ , tzn. $z = x 2 + (2 - x) 2 = 2 x 2 - 4 x + 4$ .

Funkce $z (x)$ má extrém v bodě $x 0 = 1$ , přičemž se jedná o lokální minimum. Dosazením do funkce $z (x)$ a určením hodnoty $y$ z podmínky zjistíme, že v bodě $X 0 = [1,1,2]$ se nachází vázané lokální minimum.

[editovat] Lagrangeova metoda neurčitých koeficientů

Pokud nelze použít předchozí postup, je možné použít Lagrangeovu metodu neurčitých koeficientů, která vychází z toho, že pokud mají funkce $f (x, y)$ , $g (x, y)$ v okolí bodů křivky $g (x, y) = 0$ totální diferenciál a v každém bodě křivky $g (x, y) = 0$ je alespoň jedna z derivací $\frac{\part g}{\part x}, \frac{\part g}{\part y}$ nenulová, pak aby měla funkce $z = f (x, y)$ v bodě $[x 0; y 0]$ křivky $g (x, y) = 0$ lokální extrém, musí existovat taková konstanta $λ$ , že funkce

F (x, y,λ) = f (x, y) + λ g (x, y)

splňuje v bodě $[x 0, y 0]$ podmínky

$\frac{\part F}{\part x}(x_0, y_0, \lambda) = 0$

$\frac{\part F}{\part y}(x_0, y_0, \lambda) = 0$

$\frac{\part F}{\part \lambda}(x_0, y_0, \lambda) = g(x_0, y_0) = 0$

Neznámá konstanta $λ$ se nazývá Lagrangeův multiplikátor. Funkce $F$ bývá označována jako Lagrangeova funkce.

Hledání vázaných extrémů tedy spočívá v sestrojení funkce $F$ a řešení uvedené soustavy rovnic pro neznámé $x 0, y 0,λ$ . Bod $[x 0; y 0]$ bude extrémem tehdy, je-li druhý diferenciál $d 2 F$ v tomto bodě nenulový. V opačném případě nemusí jít o extrém.

[editovat] Příklad

Určeme vázané extrémy funkce $z = x + y$ s vazební podmínkou $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{1}{2}$ .

Podmínku vyjádříme va tvaru $g(x,y) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} - \frac{1}{2} = 0$ . Lagrangeova funkce má tvar

$F = x + y + \lambda ( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} - \frac{1}{2})$

Podmínky pro nalezení vázaných extrémů tedy jsou

$\frac{\part F}{\part x} = 1 + \lambda (- \frac{2}{x^3}) = 0$

$\frac{\part F}{\part y} = 1 + \lambda (- \frac{2}{y^3}) = 0$

$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} - \frac{1}{2} = 0$

Z prvních dvou rovnic získáme $x = y$ a z poslední rovnice lze určit $x = \pm 2, y = \pm 2$ . Stacionární body jsou tedy $S 1 = [2;2]$ , pro který získáme $λ = 4$ , a $S 2 = [ - 2; - 2]$ , pro který získáme $λ = - 4$ .

Pro $λ = 4$ má funkce $F$ tvar

$F_1 = x + y + \frac{4}{x^2} + \frac{4}{y^2} - 2$

Vyšetřováním extrému této funkce zjistíme, že v bodě $[2;2]$ se nachází lokální minimum.

Pro $λ = - 4$ má funkce $F$ tvar

$F_2 = x + y - \frac{4}{x^2} - \frac{4}{y^2} + 2$

Vyšetřováním extrému této funkce zjistíme, že v bodě $[ - 2; - 2]$ se nachází lokální maximum.

[editovat] Vázané extrémy funkcí více proměnných

Obdobným způsobem lze postupupovat také u funkcí více proměnných. Např. extrémy funkce $w = f (x, y, z, u, v)$ vázané podmínkami $F 1 (x, y, z, u, v) = 0$ a $F 2 (x, y, z, u, v) = 0$ musí splňovat podmínky $\frac{\part G}{\part x} = 0, \frac{\part G}{\part y} = 0, \frac{\part G}{\part z} = 0, \frac{\part G}{\part u} = 0, \frac{\part G}{\part v} = 0,$ $\frac{\part G}{\lambda_1} = F_1 = 0, \frac{\part G}{\lambda_2} F_2 = 0$ , kde $G = f + λ 1 F 1 + λ 2 F 2$ .