Křivka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o geometrickém útvaru. O ptáku pojednává článek Křivka obecná.

Křivka je v matematice geometrický jednorozměrný objekt. Jednoduchý příklad křivky je například kružnice nebo přímka. V geometrii existuje velké množství různých křivek.

Obsah

1 Příklady
2 Rovinná křivka
3 Prostorová křivka
- 3.1 Příklady prostorových křivek
4 Oblouk křivky
5 Křivka r-té třídy
- 5.1 Vzdálenost k-tého řádu
- 5.2 Zobecnění
6 Křivka jako zobrazení
- 6.1 Definice
7 Podívejte se též na
8 Literatura
- 8.1 Externí odkazy

[editovat] Příklady

[editovat] Rovinná křivka

Rovinnou křivkou rozumíme množinu bodů $[x, y]$ , které leží v rovině $x y$ (v kartézském systému souřadnic) a jsou určeny parametrickými rovnicemi

x = φ(t)

y = ψ(t)

pro $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$ .

Předpokládáme přitom, že funkce $φ(t),ψ(t)$ jsou na intervalu $\langle\alpha,\beta\rangle$ spojité a mají na tomto intervalu po částech spojité derivace $\phi^\prime(t), \psi^\prime(t)$ . Dále předpokládáme, že pro žádné $t$ nejsou derivace $\phi^\prime(t), \psi^\prime(t)$ současně nulové. Poslední podmínka říká, že pro žádnou dvojici $t_1 \neq t_2$ z intervalu $\langle\alpha,\beta\rangle$ nesmí současně platit $φ(t 1) = φ(t 2)$ a $ψ(t 1) = ψ(t 2)$ , čímž je zajištěno, že křivka sama sebe neprotíná. Takovouto křivku označujeme jako jednoduchou (neboť neprotíná sama sebe) konečnou (neboť je omezena konečným intervalem parametrů $t$ ) a po částech hladkou (což zajišťuje spojitost derivací).

Rovnici rovinné křivky lze často vyjádřit ve formě funkční závislosti proměnných $x, y$ , tzn.

y = f (x)

popř.

F (x, y) = 0

Pokud platí současně $φ(α) = φ(β),ψ(α) = ψ(β)$ , tzn. počáteční bod křivky splývá s bodem koncovým, pak křivku označíme jako uzavřenou.

Křivku označíme jako rektifikovatelnou, pokud má konečnou délku, kterou lze vyjádřit jako

$l = \int_\alpha^\beta \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t$

[editovat] Jordanova křivka

Jednoduchou rektifikovatelnou uzavřenou křivku (která nemusí být po částech hladká) označujeme jako Jordanovu křivku. Jordanova křivka je uzavřená, takže rozděluje rovinu na dvě souvislé oblasti. Tu, která je omezena křivkou označujeme jako vnitřek křivky (nebo Jordanovu oblast), zbytek roviny pak jako vnějšek křivky.

[editovat] Orientace křivky

Na rovinné křivce lze zvolit orientaci, čímž získáme tzv. orientovanou křivku. Tvoří-li křivka hranici určité oblasti $Ω$ , pak řekneme, že je kladně orientovaná vzhledem k $Ω$ , pokud oblast $Ω$ zůstává po levé straně křivky (při pohybu po kladně orientované křivce jde o pohyb proti směru hodinových ručiček). V opačném případě se jedná o záporně orientovanou křivku.

Orientace křivky se obvykle určuje vhodnou volbou parametru. Pokud např. bod A křivky s parametrem $t A$ leží před bodem B s parametrem $t B$ a pro libovolnou volbu bodů A, B platí $t A < t B$ , pak můžeme říci, že křivka je orientovaná ve smyslu rostoucího parametru $t$ .

[editovat] Příklady rovinných křivek

[editovat] Prostorová křivka

Prostorovou křivkou označujeme množinu bodů, jejichž souřadnice vyhovují tzv. parametrickým rovnicím křivky

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

pro parametr $t \in \mathbf{I}$ , přičemž v každém bodě intervalu $\mathbf{I}$ má alespoň jedna z uvedených funkcí nenulovou první derivaci. Parametr $t$ můžeme považovat za souřadnici na křivce.

Uvedené rovnice křivky bývají obvykle zapisovány ve vektorovém tvaru

$\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ ,

kde $\mathbf{r}$ představuje rádiusvektor.

Křivku v prostoru lze také zadat jako průnik dvou ploch, např.

z = f (x, y)

z = g (x, y)

nebo

F (x, y, z) = 0

G (x, y, z) = 0

Jsou-li rovnice popisující křivku algebraické, pak křivku označujeme jako algebraickou. Pokud uvedené rovnice nejsou algebraické, pak říkáme, že křivka je transcendentní.

[editovat] Příklady prostorových křivek

[editovat] Oblouk křivky

Obloukem křivky od bodu $t_0 \in \langle a,b\rangle$ do bodu $t \in \langle a,b\rangle$ se nazývá výraz

$s = s(t) = \int_{t_0}^t \mathrm{d}s = \int_{t_0}^t \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\mathrm{d}t = \int_{t_0}^t \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}} \mathrm{d}t = \int_{t_0}^t \sqrt{\mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}}$ ,

kde $\mathbf{r}$ je rádiusvektor bodu křivky.

Diferenciál

$\mathrm{d}s = \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \sqrt{\mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}} = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2}$

nazýváme diferenciál (prvek, element) oblouku nebo lineární prvek (element) křivky.

[editovat] Křivka r-té třídy

Uvažujme v rovině křivku popsanou funkcí $y = y (x)$ pro $x \in \langle a,b\rangle$ . Má-li funkce $y (x)$ na otevřeném intervalu $(a^\prime,b^\prime) \subset \langle a,b\rangle$ spojité derivace až do $r$ -tého řádu, pak říkáme, že se jedná o křivku $r$ -té třídy (křivku třídy $T r$ ) v intervalu $\langle a,b\rangle$ .

Rovinnou křivku definovanou na intervalu $\langle a,b\rangle$ funkcí $y (x)$ často vyjadřujeme jako množinu bodů

$K=\{[x,y] \in E_2|y=y(x),x \in \langle a,b\rangle\}$

[editovat] Vzdálenost k-tého řádu

Uvažujme dvě křivky $K 1, K 2$ v $E 2$ , které jsou na stejném intervalu $\langle a,b\rangle$ definovány funkcemi $y 1 (x), y 2 (x)$ . Za jejich vzdálenost $k$ -tého řádu $d k (K 1, K 2)$ považujeme největší z čísel

$\max_{x \in \langle a,b\rangle} \left|y_2(x)-y_1(x)\right|$

$\max_{x\in\langle a,b\rangle} \left|y_2^\prime(x)-y_1^\prime(x)\right|$

$\max_{x \in\langle a,b\rangle} \left|y_2^{\prime\prime}(x)-y_1^{\prime\prime}(x)\right|$

…

$\max_{x\in\langle a,b\rangle} \left|y_2^{(k)}(x)-y_1^{(k)}(x)\right|$

Jde tedy o číslo

$d_k(K_1,K_2) = \max_{j \in\{0,1,...,k\}}\left[\max_{x\in\langle a,b\rangle}\left|y_2^{(j)}(x)-y_1^{(j)}(x)\right|\right]$

Přičemž nultá derivace představuje samotnou funkci, tzn. $y_i^{(0)}(x)=y_i(x)$ .

Jako $\varepsilon$ -ové okolí $r$ -tého řádu křivky $K$ označujeme všechny křivky $K^\prime$ $r$ -tého řádu, které mají od křivky $K$ vzdálenost $r$ -tého řádu menší než $\varepsilon$ >0, tzn.

$d_r(K,K^\prime)<\varepsilon$ .

Každá křivka patřící k $\varepsilon$ -ovému okolí $r$ -tého řádu křivky $K$ patří také do jejího $\varepsilon$ -okolí nultého řádu.

[editovat] Zobecnění

Podobně lze v euklidovském prostoru $E n + 1$ s kartézskými souřadnicemi $x, y 1,..., y n$ definovat křivku $K$ jako

$K = \{\left[x,y_1,...,y_n\right] \in E_{n+1}|y_i=y_i(x) \mbox{ pro } i=1,...,n, x \in \langle a,b\rangle\}$

Obdobně lze také definovat vzdálenost $k$ -tého řádu pro dvě křivky $K, K 0$ , tzn. vzdáleností $k$ -tého řádu nazveme maximální z hodnot

| y i (x) - y 0 i (x) |

$|y_i^\prime(x)-y_{0i}^\prime(x)|$

…

$|y_i^{(k)}(x)-y_{0i}^{(k)}(x)|$

pro $i = 1,2,..., n$ .

Definice $\varepsilon$ -ového okolí křivky $K 0$ je v $E n + 1$ analogická definici $\varepsilon$ -ového okolí v $E 2$ .

Křivka může být také definovaná parametricky popisem

$K = \{\left[y_1,...,y_n\right] \in E_n|y_i=y_i(t) \mbox{ pro } i=1,...,n,t \in \langle t_1,t_2\rangle\}$

Takto popsaná křivka v $E n$ je nezávislá na regulární transformaci parametru $t$ .

[editovat] Křivka jako zobrazení

V souvislosti s křivkovými integrály, nebo při parametrizaci křivek geometrických zpravidla rozumíme křivkou zobrazení z reálného intervalu do prostoru.

[editovat] Definice

Je-li M uvažovaný prostor (resp. varieta) a I interval, pak křivkou rozumíme diferencovatelné zobrazení φ(x) z I do M takové, že φ'(x) není nulové pro žádné x z I.

[editovat] Podívejte se též na

[editovat] Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

[editovat] Externí odkazy

Soubor:Matematika - matematický pahýl (antialiasing).png

Tento matematický článek je pahýl. Můžete pomoci Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../k/%C5%99/i/K%C5%99ivka.html“

Kategorie: Matematické pahýly | Křivky