Vzájemná poloha dvou přímek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Rovnoběžky p₁ a p₂.

Různoběžky p₁ a p₂ s průsečíkem P.

Mimoběžky p₁ a p₂.

Obsah

1 V rovině
- 1.1 Algebraické řešení
2 V prostoru
- 2.1 Algebraické řešení
3 Podívejte se také na

[editovat] V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

[editovat] Algebraické řešení

Mějme dvě přímky v rovině dané rovnicemi

y = k 1 x + q 1

y = k 2 x + q 2

popř. obecnými rovnicemi

a 1 x + b 1 y + c 1 = 0

a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné, pokud mají stejné směrnice. Jsou-li tedy dvě přímky zadány směrnicovými rovnicemi, pak podmínka rovnoběžnosti má tvar

k 1 = k 2

Jsou-li přímky zadány obecnými rovnicemi, pak podmínku rovnoběžnosti lze vyjádřit ve pomocí determinantu jako

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$

Přímky zadané rovnicemi směrnicovými rovnicemi jsou kolmé, pokud jejich směrnice splňují podmínku $k 1 k 2 + 1 = 0$ , kterou obvykle zapisujeme jako

$k_1 = -\frac{1}{k_2}$

Rovnice zadané v obecném tvaru jsou kolmé pokud splňují podmínku

a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0

Průsečík dvou přímek zadaných směrnicovými rovnicemi získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

$x_P = \frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}$

$y_P = \frac{q_1 k_2 - q_2 k_1}{k_2-k_1}$

Podobně pro průsečík přímek zadaných obecnými rovnicemi dostaneme

$x_P = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}$

$y_P = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}$

Z předchozích vztahů je vidět, že pokud je splněna podmínka rovnoběžnosti, tak přímky jsou rovnoběžné a nemají tedy průsečík.

Odchylka $\varphi$ dvou různoběžných přímek zadaných směrnicovými rovnicemi je pro $k_1 k_2 \neq -1$ dána vztahem

$\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}\right|$

Jsou-li rovnice zadány obecnými rovnicemi, pak pro odchylku dostáváme

$\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{a_1 b_2 - a_2 b_1}{a_1 a_2 + b_1 b_2}\right|$

pro $a_1 a_2 + b_1 b_2 \neq 0$ .

[editovat] V prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Poloha přímek v rovině je speciálním případem polohy přímek v prostoru.

[editovat] Algebraické řešení

Dvě přímky zadané obecnými rovnicemi tvoří soustavu

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0

a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 = 0

a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 = 0

Tyto dvě přímky se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{vmatrix} = 0$

Máme-li dvě přímky vyjádřené vztahy

y = m 1 x + q 1

z = n 1 x + r 1

y = m 2 x + q 2

z = n 2 x + r 2

Pak podmínku, aby se tyto přímky proťaly lze zapsat

$\frac{q_1-q_2}{r_1-r_2} = \frac{m_1-m_2}{n_1-n_2}$

Pro souřadnice průsečíku pak platí

$x_P = \frac{q_2-q_1}{m_1-m_2} = \frac{r_2-r_1}{n_1-n_2}$

$y_P = \frac{m_1 q_2-m_2 q_1}{m_1-m_2}$

$z_P = \frac{n_1 r_2-n_2 r_1}{n_1-n_2}$

Pokud se takové přímky protínají, pak jejich odchylku $\varphi$ určíme jako

$\cos\varphi = \frac{\left|1+m_1 m_2 + n_1 n_2\right|}{\sqrt{(1+m_1^2+n_1^2)(1+m_2^2+n_2^2)}}$

Podmínku rovnoběžnosti přímek lze pak vyjádřit jednoduchými vztahy $m 1 = m 2$ a $n 1 = n 2$ . Přímky jsou kolmé, je-li splněna podmínka $1 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0$ .

Mějme přímky vyjádřeny rovnicemi

$\frac{x-x_1}{\cos\alpha_1} = \frac{y-y_1}{\cos\beta_1} = \frac{z-z_1}{\cos\gamma_1}$

$\frac{x-x_2}{\cos\alpha_2} = \frac{y-y_2}{\cos\beta_2} = \frac{z-z_2}{\cos\gamma_2}$

Odchylka těchto přímek se určí jako

$\cos\varphi = \cos\alpha_1\cos\alpha_2+\cos\beta_1\cos\beta_2+\cos\gamma_1\cos\gamma_2$

Podmínku rovnoběžnosti takovýchto přímek lze zapsat rovnicemi $cosα 1 = cosα 2,cosβ 1 = cosβ 2,cosγ 1 = cosγ 2$ . Podmínku kolmosti lze vyjádřit jako $cosα 1 cosα 2 + cosβ 1 cosβ 2 + cosγ 1 cosγ 2 = 0$ .

Vzdálenost $δ$ dvou mimoběžných přímek udává vztah

$\delta = \left|\frac{\begin{vmatrix} x_1-x_2 & y_1-y_2 & z_1-z_2 \\ \cos\alpha_1 & \cos\beta_1 & \cos\gamma_1 \\ \cos\alpha_2 & \cos\beta_2 & \cos\gamma_2 \end{vmatrix}}{\sqrt{{\begin{vmatrix} \cos\beta_1 & \cos\gamma_1 \\ \cos\beta_2 & \cos\gamma_2 \end{vmatrix}}^2 + {\begin{vmatrix} \cos\gamma_1 & \cos\alpha_1 \\ \cos\gamma_2 & \cos\alpha_2 \end{vmatrix}}^2 + {\begin{vmatrix} \cos\alpha_1 & \cos\beta_1 \\ \cos\alpha_2 & \cos\beta_2 \end{vmatrix}}^2}}\right|$