Algebraische Varietät
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In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine algebraische Varietät ein geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen beschrieben werden kann.
Es sei k ein fester, algebraisch abgeschlossener Körper.
Eine affine algebraische Menge ist eine Teilmenge eines affinen Raums kn, die die Form
für eine (endliche) Menge 
von Polynomen in ![k[X_1,\ldots,X_n]](../../../math/c/9/0/c901657f34686cd7c6d58c0019836751.png)
hat. (Hilberts Basissatz sagt aus, dass man jedes unendliche System von Polynomgleichungen durch ein dazu äquivalentes mit endlich vielen Gleichungen ersetzen kann.)
Die affinen algebraischen Mengen können als abgeschlossene Mengen einer Topologie aufgefasst werden, der Zariski-Topologie.
Eine affine algebraische Varietät ist eine irreduzible algebraische Menge, d.h. eine algebraische Menge, die nicht als nichttriviale Vereinigung zweier algebraischer Mengen geschrieben werden kann. Formal ist damit gemeint, dass Z irreduzibel heißt, wenn in jeder Zerlegung 
als Vereinigung zweier algebraischer Mengen Y1,Y2 stets 
oder 
gilt.
Affine algebraische Mengen stehen in enger Beziehung zur Idealtheorie im Polynomring :
- Einer algebraischen Menge
wird das Ideal
-
- zugeordnet.
![I(Z):=\{f\in k[X_1,\ldots,X_n]\mid f(x)=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ x\in Z\}](../../../math/9/e/0/9e0867163e8e6f1370eab3101160c33d.png)
- Einem Ideal
![I\subseteq k[X_1,\ldots,X_n]](../../../math/a/a/6/aa63b5fb93233a217d3c2b0f7fc3c5c9.png)
wird die algebraische Menge
-
- zugeordnet.
Hilberts Nullstellensatz sagt nun aus, dass diese beiden Abbildungen "beinahe" eine Bijektion bilden.
Dabei entsprechen sich die folgenden Begriffe und Konstruktionen:
| Algebraische Mengen | Radikalideale |
|---|---|
| Vereinigung | Schnitt |
| Schnitt | Summe |
| irreduzibel | Primideal |
| Punkt | Maximalideal |
| kn | (0) |
 |
(1) |
Diese enge Beziehung zur kommutativen Algebra erlaubt es auch, anschauliche Begriffe durch präzise algebraische Definitionen zu fassen, beispielsweise die Dimension einer algebraischen Varietät als Höhe des entsprechenden Primideals.
