Arnoldi-Verfahren
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In der numerischen Mathematik ist das Arnoldi-Verfahren wie das Lanczos-Verfahren ein iteratives Verfahren zur Bestimmung einiger Eigenwerte und zugehöriger Eigenvektoren. Im Arnoldi-Verfahren wird zu einer gegebenen Matrix 
und einem gegebenen Startvektor 
eine orthonormale Basis des zugeordneten Krylowraumes
berechnet. Da die Spalten Aiq bis auf eine etwaige Skalierung genau den in der Potenzmethode berechneten Vektoren entsprechen, ist es klar, dass der Algorithmus instabil wird, wenn zuerst diese Basis berechnet würde und anschließend, z.B. nach Gram-Schmidt, orthonormalisiert würde.
Der Algorithmus kommt allerdings ohne die vorherige Aufstellung der sogenannten Krylowmatrix 
aus.
[Bearbeiten] Der Algorithmus (MGS-Variante)
Gegeben sei eine quadratische Matrix und ein (nicht notwendig normierter) Startvektor 
.
for 
do
- for
do
- end for
end for
[Bearbeiten] Literatur
- W.E. Arnoldi: The Principle of Minimized Iterations in the Solution of the Matrix Eigenvalue Problem. In: Quarterly of Applied Mathematics. 9, 1951, S. 17-29
- Gene H. Golub, Charles F. Van Loan: Matrix Computations., 3. Edition, The Johns Hopkins University Press 1996, ISBN 0-8018-5414-8
