Potenzmethode
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Die Potenzmethode (auch von-Mises-Iteration) ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung des betragsgrößten Eigenwertes einer Matrix. Es ist ein nicht-optimales Krylow-Unterraum-Verfahren, welches nur den jeweils letzten berechneten Vektor zur Eigenwertnäherung verwendet. Die Potenzmethode ist hinsichtlich der Konvergenzgeschwindigkeit den anderen Krylovraum-Verfahren, wie etwa dem Verfahren von Lanczos oder dem Verfahren von Arnoldi unterlegen. Dafür schneidet die Potenzmethode hinsichtlich der Stabilitätsanalyse besser ab.
[Bearbeiten] Der Algorithmus
Gegeben sei eine quadratische Matrix 
und ein Startvektor 
.
- for
do 
- end for
[Bearbeiten] Konvergenz
Die Skalare θk konvergieren gegen den betragsgrößten Eigenwert und die Vektoren qk gegen den zugehörigen normierten Eigenvektor, sofern der Eigenwert dem Betrage nach einfach ist und der Startvektor einen Nichtnull-Anteil an dem zugehörigen Eigenraum hat.
Unter der häufigen starken Voraussetzung, dass der Eigenwert einfach, betragsmäßig einfach und gut separiert ist, konvergieren sowohl die Eigenwertnäherungen als auch die Eigenvektornäherungen linear mit der Konvergenzgeschwindigkeit | λ2 | / | λ1 | , wobei die Eigenwerte dem Betrage nach abfallend sortiert angenommen werden, 
.
[Bearbeiten] Vergleiche mit anderen Krylovraum-Verfahren
Die Potenzmethode ist zu den anderen Krylovraum-Verfahren sehr ähnlich. Es finden sich die typischen Ingredienzien der komplexeren Verfahren wieder, so etwa die Normierung der konstruierten Basisvektoren in den Zeilen 2 und 3, die Erweiterung des Krylovraumes in Zeile 4 und die Berechnung von (Elementen von) Projektionen in Zeile 5.
