Artinsches Reziprozitätsgesetz
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Das Artinsche Reziprozitätsgesetz (nach Emil Artin) umfasste historisch gesehen alle schon vorher bekannten. Es besagt, dass ein Quotient der Idelklassengruppe, einer verallgemeinerten Idealklassengruppe, einer abelschen Körpererweiterung isomorph zur Galoisgruppe dieser Erweiterung ist. Wegen seiner Bedeutung gilt es als der Hauptsatz der Klassenkörpertheorie.
Genauer kann man es wie folgt formulieren:
Dabei ist 
die Menge der zu dem Erklärungsmodul 
teilerfremden Ideale von k, 
die Gruppe der Normen von gebrochenen Idealen in K teilerfremd zu und 
die Untergruppe von P (Gruppe der gebrochenen Hauptideale), die aus den gebrochenen Hauptidealen (α) besteht mit 
, wobei 
eine Untergruppe der Einheitengruppe 
ist. Der Erklärungsmodul muss dabei durch alle verzweigten Primideale teilbar sein.
