Behrens-Fisher-Problem

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In der Statistik, bezeichnet das Behrens-Fisher Problem das Problem der Intervallschätzung und Hypothesentests bezüglich der Differenz zweier Mittelwerte aus zwei unabhängig normalverteilten Stichproben, wenn die Varianzen in diesen zwei Stichproben als unbekannt und ungleich angenommen werden.

Ronald Fisher führte 1935 die "fiducial inference" zur Lösung diese Problems ein. Er bezog sich hierbei auf eine frühere Arbeit von W. V. Behrens aus dem Jahr 1929. Behrens und Fisher schlugen vor die Verteilung der folgenden Statistik zu bestimmen:

$T = {\bar x_1 - \bar x_2 \over \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$

wobei $\bar x_1$ und $\bar x_2$ die zwei Stichprobenmittel und $s 1$ und $s 2$ ihre Standardabweichungen bezeichnet. Fisher approximierte diese Verteilung, indem der die Zufälligkeit der relativen Größe der Standardabweichungen, ${s_1 / \sqrt{n_1} \over \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$ ignorierte. Fishers Lösungsansatz rief eine Kontroverse hervor, weil er nicht die Eigenschaft hatte die Nullhypothese mit Wahrscheinlichkeit α abzulehnen, wenn diese zutrifft. Inzwischen sind viele Lösungsansätze vorgeschlagen worden.

Eine der am meisten benutzten Methoden (beispielsweise in Microsoft Excel) ist die von B. L. Welch (1939), der, wie Fisher, am University College London tätig war. Er approximierte die Lösung von $\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}$ mit einer Typ III Pearson Verteilung. Diese hat wie eine Chi-Quadrat-Verteilung Freiheitsgrade, die aus den Stichprobengrößen und ihren Varianzen geschätzt werden können:

$d.f. = {(a_1 + a_2)^2 \over a_1^2/(n_1-1) + a_2^2/(n_2-1)}$

mit $a_i = s_i^2/n_i$ . Daraus ergibt sich eine Students t-Verteilung für $T$ mit der besagten Anzahl von Freiheitsgraden. Diese Methode hält das Signifikanzniveau nicht exakt, ist aber nicht allzu weit entfernt davon. Wenn die Stichprobenvarianzen als gleich angenommen werden können, ist der t-Test das Mittel der Wahl.

[Bearbeiten] Literatur und externe Links

W. V. Behrens, "Ein Beitrag zur Fehlerberechnung bei wenigen Beobachtungen", 'Landwirtschaftliche Jahrbücher' 68, S. 807-37.
"On the Behrens-Fisher Problem: A Review", von Seock-Ho Kim und Allan Cohen, University of Wisconsin, 1995. Dossier vorgestellt auf dem jährlichen Kongress der Psychometric Society, Minneapolis.

"Distributional Property of the Generalized p-value for the Behrens-Fisher Problem with Applications to Multiple Testing", von Kam-Wah Tsui and Shijie Tang, University of Wisconsin, 31. Oktober 2005

"A simple conservative and robust solution of the Behrens-Fisher problem", von Harold Ruben, 'The Indian Journal of Statistics' Series A, Volume 64, Teil 1, S. 139-155, erschienen 2002