Bloch-Funktion
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Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x0-periodisches Potential (z.B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt:
-
Es sei ein periodisches Potential V(x) mit der Periodizität x0 gegeben V(x+x0)=V(x). Dann haben die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung notwendigerweise die Form wobei uk(x) eine periodische Funktion mit Periode x0 ist (uk(x)=uk(x+x0)).
Die Periodizität des Potentials V(x)=V(x+x0) überträgt sich also auf uk(x) und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens |ψ|2 im Potential. Betrachtet man einen kristallinen Festkörper, so ist die Periodizität x0 durch das Kristallgitter, also einen Gittervektor gegeben.
[Bearbeiten] Kurze Herleitung
Das Potential V(r) ist invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor R (in einem Kristall ist R ein Gittervektor):
Dieselbe Translationsinvarianz gilt damit auch für den Hamiltonoperator 
des Teilchens. Daher unterscheiden sich zwei Wellenfunktionen, die um einen Vektor R gegeneinander verschoben sind, höchstens um einen ortsunabhängigen Faktor f:
.
Bloch zeigte, dass der Faktor f gegeben sein muss durch
.
Diese Bedingungen werden aber gerade durch die Bloch-Funktion erfüllt.
[Bearbeiten] Literatur
- Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloé, Franck (1999): Quantenmechanik 1&2, 2. Auflage, Berlin - New York: Walter de Gruyter.
- Kittel, Charles(2006) : Einführung in die Festkörperphysik, 14. Auflage, München: Oldenbourg-Verlag, Seite 194
