Boltzmannkonstante

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen: k_B oder k) ist die fundamentale Umrechnungskonstante zwischen Temperaturen und thermischen Energien. Sie wurde entdeckt von Max Planck und ist benannt nach Ludwig Boltzmann und nicht zu verwechseln mit der Stefan-Boltzmann-Konstante.

Der Wert der Konstante beträgt

$k_{\rm B} = \frac{R}{N_{\rm A}} = 1{,}3806505(24) \cdot 10^{-23}\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}} = 8{,}617343 \cdot 10^{-5} \,\frac{\mathrm{eV}}{\mathrm{K}}$ . ^[1]

Merkhilfe: $k_B\, T_{Raum} \approx \frac{1}{40}\, eV$ , mit der Raumtemperatur $T_{Raum} = 300\,\mathrm{K}$

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

R - Universelle Gaskonstante
N_A - Avogadro-Konstante
J - Joule, die SI-Einheit der Energie
K - Kelvin, die SI-Einheit der Temperatur

Inhaltsverzeichnis

1 Rolle der Boltzmannkonstante im Idealen Gasgesetz
2 Rolle der Boltzmannkonstante in der statistischen Physik
3 Rolle der Boltzmannkonstante in der Halbleiterphysik
4 Siehe auch
5 Quellen
6 Weblinks

[Bearbeiten] Rolle der Boltzmannkonstante im Idealen Gasgesetz

Die Boltzmannkonstante ist eine der möglichen Proportionalitätskonstanten des idealen Gasgesetzes

$p V = N \, k_{\rm B} \, T$ .

Bedeutung der Formelzeichen:

p - Druck
V - Volumen
N - Teilchenanzahl
T - Absolute Temperatur

Die Boltzmannkonstante entspricht dem Quotienten der doppelten mittleren kinetischen Energie eines idealen Gasteilchens in einer Raumdimension und der Temperatur. In 3 Dimensionen gilt für die mittlere kinetische Energie eines (klassischen) punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht:

$\langle E_{\rm kin}\rangle =\frac{3}{2} k_{\rm B} T$

Hat das Teilchen f Freiheitsgrade, gilt folgendes:

$\langle E_{\rm kin}\rangle =\frac{f}{2} k_{\rm B} T$

So hat z.B. ein punktförmiges Teilchen 3 Translationsfreiheitsgrade, ein zweiatomiges Molekül hat zusätzlich 2 Rotationsfreiheitsgrade (durch Rotation entlang der 3. Achse − der Symmetrieachse − kann keine Energie speichern, da das Trägheitsmoment hier sehr klein ist). Ein Molekül ohne eine solche Symmetrie hat 3 Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt 6. Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Bindungen. So hat z.B. Wasser eine extrem hohe Wärmekapazität durch eine große Zahl solcher Schwingungsfreiheitsgrade.

[Bearbeiten] Rolle der Boltzmannkonstante in der statistischen Physik

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der Wahrscheinlichkeitsdichte beliebiger Systeme der Statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf: Die thermische Wahrscheinlichkeitsdichte solcher Systeme bei der Thermodynamischen Temperatur $T$ lautet $e^{-\frac{H}{k_{\rm B}T}}/Z$ mit einer Normierungskonstanten $Z$ , wobei $H$ die Energiefunktion bezeichnet, also in der Klassischen Physik die Hamilton-Funktion, in der Quantenphysik den Hamilton-Operator. Die Normierungskonstante $Z$ wird auch Zustandssumme genannt. Der Term $e^{-\frac{H}{k_{\rm B}T}}$ heißt auch Boltzmann-Faktor.

[Bearbeiten] Rolle der Boltzmannkonstante in der Halbleiterphysik

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit des Stromes durch bzw. der Spannung über einen p-n-Übergang, der mit Hilfe der Temperaturspannung $φ T$ oder $U T$ beschrieben werden kann:

$\phi_T = U_T = \frac{ k_B \,T }{ q }$

Dabei ist $T$ die absolute Temperatur in Kelvin, $k B$ die Boltzmannkonstante und $q$ die Elementarladung. Bei Raumtemperatur (T=300K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 26mV. Siehe auch Diode.

Anwendungsbereich: