Charakteristische Untergruppe
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In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe G eine Untergruppe H, die unter jedem Automorphismus von G fest bleibt. Das heißt, eine Untergruppe H von G heißt charakteristisch, wenn für jeden Automorphismus (bijektiven Gruppenhomomorphismus von G nach G) f gilt, dass f(H) Teilmenge von H ist.
Jede charakteristische Untergruppe ist Normalteiler, denn sie bleibt insbesondere fest unter jedem inneren Automorphismus. Umgekehrt ist aber nicht jeder Normalteiler charakteristisch. Betrachte z.B. die Kleinsche Vierergruppe. Jede ihrer Untergruppen ist normal, aber es gibt einen Automorphismus, der die 2-elementigen Untergruppen permutiert, also ist keine der 2-elementigen Untergruppen charakteristisch.
Ist H ein Normalteiler der endlichen Gruppe G, und hat G keine weitere Untergruppe derselben Ordnung, dann ist H charakteristisch, da Automorphismen Untergruppen nur auf ordnungsgleiche Untergruppen abbilden.
Ein verwandtes Konzept ist das einer streng charakteristischen Untergruppe (engl. distinguished subgroup). Eine solche Untergruppe H bleibt fest unter jedem Epimorphismus (surjektiven Homomorphismus von G nach G). Beachte, dass für eine unendliche Gruppe nicht jeder Epimorphismus ein Automorphismus sein muss.
Eine noch stärkere Forderung ist die einer voll charakteristischen Untergruppe (engl. fully characteristic subgroup oder fully invariant subgroup). Eine solche Untergruppe H bleibt fest unter jedem Endomorphismus (Homomorphismus von G nach G), d.h. wenn f: G → G ein Homomorphismus ist, dann ist f(H) Teilmenge von H.
Jede streng charakteristische Untergruppe ist charakteristisch, aber nicht umgekehrt.
Jede voll charakteristische Untergruppe ist also streng charakteristisch, jedoch nicht umgekehrt. Das Zentrum einer Gruppe ist stets streng charakteristisch, aber z.B. nicht voll charakteristisch für die Gruppe D6×C2 (das direkte Produkt der Diedergruppe der Ordnung 6 mit der zyklischen Gruppe der Ordnung 2).
Die Kommutatorgruppe einer Gruppe ist stets voll charakteristisch in ihr, ebenso wie die Torsionsuntergruppe einer abelschen Gruppe.
Die Eigenschaft, charakteristisch oder voll charakteristisch zu sein, ist transitiv, d.h. ist H eine (voll) charakteristische Untergruppe von K und K eine (voll) charakteristische Untergruppe von G, dann ist auch H eine (voll) charakteristische Untergruppe von G.
