Surjektivität

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Surjektivität (surjektiv) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.

Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. Anders ausgedrückt: Bild- und Zielmenge stimmen überein.

In der Sprache der Relationen ist der entsprechende Begriff rechtstotal.

Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet.

[Bearbeiten] Definition

Es seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f : X \to Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$ .

$f$ heißt surjektiv, wenn für alle $y$ aus $Y$ mindestens ein $x$ aus $X$ mit $f (x) = y$ existiert.

Formal: $\forall y \in Y \ \exists x \in X : f(x)=y$

[Bearbeiten] Darstellungsformen

[Bearbeiten] Beispiele und Gegenbeispiele

Die Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit $f (x) = 2 x + 1$ ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl $y$ gibt es (mindestens) ein Urbild. Um dies zu zeigen, löst man die Gleichung $y = 2 x + 1$ in einem ersten Schritt nach $x$ auf und erhält $x = (y - 1) / 2$ . Das Berechnen von $x$ reicht aber im allgemeinen noch nicht als Beweis. Dieser kann hier jedoch durch eine einfache Probe erbracht werden, denn in der Tat ist
$f ((y - 1) / 2) = 2((y - 1) / 2) + 1 = y$ .

Die Sinus-Funktion $\sin: \mathbb{R} \to [-1, 1]$ ist surjektiv. Jede horizontale Gerade $y = y 0$ mit $-1 \leq y_0 \leq 1$ hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion.

Die Sinus-Funktion $\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ist jedoch nicht surjektiv, da z.B. die Gerade $y = 2$ keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.

$\mathbb{C}$ bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.

$f_1:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ , \ x \mapsto x^2$ ist nicht surjektiv.

$f_2:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\ , \ x \mapsto x^2$ ist surjektiv.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion $f : A \to B$ nicht nur vom Funktionsgraphen $\{(x, f(x)) \mid x \in A\}$ , sondern auch von der Zielmenge $B$ abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, welche man am Funktionsgraphen ablesen kann).

Sind die Funktionen f : A → B und g : B → C surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) g o f : A → C.

Aus der Surjektivität von g o f folgt, dass g surjektiv ist.

Eine Funktion f : A → B ist genau dann surjektiv, wenn f eine rechte Inverse hat, also eine Funktion g : B → A mit f o g = id_B (wobei id_B die identische Abbildung auf B bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.

Eine Funktion f : A → B ist genau dann surjektiv, wenn f rechts kürzbar ist, also für beliebige Funktionen g, h : B → C mit g o f = h o f schon g = h folgt.

Jede beliebige Funktion f : A → B ist darstellbar als Verkettung f = h o g, wobei g surjektiv und h injektiv ist. g : A → im f hat dabei die Bildmenge von f als Zielmenge und stimmt ansonsten mit f überein (hat den selben Funktionsgraphen).

[Bearbeiten] Mächtigkeiten von Mengen

Für eine endliche Menge A ist die Mächtigkeit |A| einfach die Anzahl der Elemente von A. Ist nun f : A → B eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann B höchstens so viele Elemente wie A haben, es gilt also |B| ≤ |A|.

Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist f : A → B surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von B kleiner oder gleich der Mächtigkeit von A, ebenfalls geschrieben als |B| ≤ |A|.