Determinantenfunktion

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In der Linearen Algebra ist eine Determinantenfunktion eine spezielle Funktion, die einer Folge von n Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Beispiele
4 Siehe auch
5 Literatur
6 Weblinks

[Bearbeiten] Definition

Sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ . Dann heißt eine Funktion $f : V^n \rightarrow K$ Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

$f$ ist multilinear, d.h. linear in jeder Variablen:

$\forall \, i \in \{1,...,n\}, \; \forall \, a, b \in V : f(v_1,...,v_{i-1},a+b,v_{i+1},...,v_n) = f(v_1,...,v_{i-1},a,v_{i+1},...,v_n) + f(v_1,...,v_{i-1},b,v_{i+1},...,v_n)$ (Additivität)

$\forall \, i \in \{1,...,n\}, \; \forall \, a \in V, \; \forall \, r \in K : f(v_1,...,v_{i-1},r \cdot a,v_{i+1},...,v_n) = r \cdot f(v_1,...,v_{i-1},a,v_{i+1},...,v_n)$ (Homogenität)

$f$ ist alternierend:

$(\exists \, r, s \in \{1,...,n\} : v_r = v_s) \Rightarrow f(v_1,v_2,...,v_n) = 0$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Eine Determinatenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation $σ$ : $f\left(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(n)}\right) = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot f\left(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\right)$ , wobei $sgn$ das Signum der Permutation bezeichnet.

Sind $v_1, v_2, \dots, v_n \in V$ linear abhängig, so gilt $f(v_1, v_2, \dots, v_n) = 0$ . Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d.h. $f \not \equiv 0$ ) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.

Sind $f,g : V^n \rightarrow K$ zwei Determinantenfunktion und $f \not \equiv 0$ , dann gibt es ein $a \in K$ so, dass $g(v_1, v_2, \dots, v_n) = a \cdot f(v_1, v_2, \dots, v_n) \; \forall \, v_1, v_2, \dots, v_n \in V$ . Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstante gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

[Bearbeiten] Beispiele

Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinatenfunktion.
$V = \mathbb{R}^n$ , mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.