Diffeomorphismus

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In der Differentialgeometrie und Differentialtopologie ist ein Diffeomorphismus eine Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten M und N (zum Beispiel M und N offene Mengen im Rⁿ) mit den Eigenschaften

1. f ist bijektiv (d.h. es existiert eine Umkehrfunktion ) und
2. sowohl f als auch die Umkehrfunktion f ^{− 1} sind in jedem Punkt stetig differenzierbar.

f ist dann immer auch ein Homöomorphismus, die Umkehrung gilt dabei nicht.

M und N heißen diffeomorph, falls es einen Diffeomorphismus f von M nach N gibt. Mengen, die diffeomorph sind, unterscheiden sich bezüglich ihrer differenzierbaren Struktur nicht. Der Begriff findet Anwendung in der Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Wichtiger Satz 3 Diffeomorphie und Homöomorphie 4 Literatur

[Bearbeiten] Beispiele

• Die Abbildung , wobei , ist ein Diffeomorphismus zwischen der offenen Menge (-1,1) und der Menge der reellen Zahlen . Damit ist das offene Intervall (-1,1) diffeomorph zu .
• Die Abbildung , f(x) = x³, ist bijektiv und differenzierbar. Sie ist aber kein Diffeomorphismus, denn f ^{− 1} ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

[Bearbeiten] Wichtiger Satz

Eine differenzierbare Abbildung mit invertierbarem Differential ist lokal ein Diffeomorphismus.

[Bearbeiten] Diffeomorphie und Homöomorphie

Bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten in Dimension kleiner 4 impliziert Homöomorphie immer Diffeomorphie. Dies ist in höheren Dimensionen nicht mehr unbedingt der Fall.

Ein prominentes Beispiel ist Milnors Sphäre, nach John Willard Milnor: Sie ist homöomorph zur normalen 7-dimensionalen Sphäre, aber nicht diffeomorph.

[Bearbeiten] Literatur

• K. Jänich: Vektoranalysis, Springer Verlag, 5. Aufl., 2005, ISBN 3-5402-3741-0
• D.K. Arrowsmith, C.M. Place: An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press.