Dyfeomorfizm

Automorfizm rozmaitości różniczkowalnej $M$ jest dyfeomorfizmem $M$ na siebie. Grupa tych automorfizmów jest czasami oznaczana przez $\operatorname{Diff}(M)$ .

[edytuj] Własności

Każdy dyfeomorfizm jest odwzorowaniem regularnym.
Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem.

[edytuj] Ważne dyfeomorfizmy

Dyfeomorfizm biegunowy: Niech $B = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \subset \mathbb R^2$ . Funkcja określona wzorem $b (r,τ) = (r cosτ, r sinτ)$ przeprowadza $B$ na obszar $\mathbb R^2 \setminus \left\{(x, 0) \in \mathbb R^2: x \leq 0\right\}$ . Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia $J b = r$ .
Dyfeomorfizm sferyczny: Niech $S = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right) \subset \mathbb R^3$ . Funkcja określona wzorem $s(r, \sigma, \tau) = \left(r\cos \tau \cos \sigma, r\cos \tau \sin \sigma, r\sin \tau \right)$ przeprowadza zbiór $S$ na obszar $\mathbb R^3 \setminus \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3: x \leq 0, y=0\right\}$ . Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia wynosi $J s = r 2 cosσ$ .
Dyfeomorfizm walcowy: Niech $W = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \mathbb R \subset \mathbb R^3$ . Funkcja określona wzorem $w (r,τ, z) = (r cosτ, r sinτ, z)$ przeprowadza $W$ na obszar $\mathbb R^3 \setminus \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3: x \leq 0, y=0\right\}$ . Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia również wynosi $J w = r$ .

[edytuj] Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ oraz będzie dane odwzorowanie $F\colon D \rightarrow Y$ . Jeśli $F$ jest regularne, to dla każdego $x\in D$ istnieje jego otoczenie $U x$ , że odzworowanie $F|_{U_x}$ jest dyfeomorfizmem.