Differentialstruktur
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Eine Differentialstruktur beschreibt wichtige Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit, die zwischen denen der Topologie und Geometrie liegen. Eine Mannigfaltigkeit wird dabei durch Karten 
beschrieben, d.h. durch homöomorphe Abbildungen der Mannigfaltigkeit M in den linearen Raum 
Die Karten beschreiben mittels des linearen Raumes die lokalen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit. Weitaus interessanter ist jedoch die Struktur zwischen den Karten: Gegeben seien zwei Karten 
und 
. Der Durchschnitt der Urbilder 
wird in zwei (meist unterschiedliche) Bilder 
und 
abgebildet. Eine Koordinatentransformation zwischen den Karten ist eine Abbildung von Teilmengen des linearen Raumes:
Zwei Karten 
sind kompatibel, wenn 
offen (möglicherweise leer) sind, und die Koordinatentransformationen 
(mit 
) Diffeomorphismen sind. Eine Familie kompatibler Karten, die die ganze Mannigfaltigkeit überdeckt, wird Atlas genannt und zwei Atlanten sind äquivalent, wenn alle ihre Karten kompatibel sind. Die Äquivalenzklassen von Atlanten bezüglich dieser Äquivalenzrelation sind die Differentialstrukturen der Mannigfaltigkeit.
Für Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner als vier gibt es nur eine Differentialstruktur. Für alle Mannigfaltigkeiten der Dimension größer als vier existieren nur endlich viele Differentialstrukturen. Die folgende Tabelle enthält die Zahl der Differentialstrukturen bis zur Dimension 11:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 1 | 1 | 1 |  |
1 | 1 | 28 | 2 | 8 | 6 | 992 |
Mannigfaltigkeiten der Dimension vier sind bezüglich der Differentialstruktur außergewöhnlich: Die meisten kompakten 4-Mannigfaltigkeiten besitzen eine abzählbar unendliche Zahl von Differentialstrukturen und die meisten nichtkompakten 4-Mannigfaltigkeiten sogar überabzählbar viele.
