Dreisatz

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Der Dreisatz (früher auch: die Regel de tri, lat. regula de tribus, manchmal auch Schlußrechnung) ist ein Berechnungsverfahren für proportionale Wertepaare ausgehend von einem bekannten Wertepaar $(x 0, y 0)$ .

Herkunft und Struktur

Anders formuliert: Ausgehend von dem bekannten Verhältnis von $x 0$ Einheiten eines Objektes $A$ zu $y 0$ Einheiten eines anderen Objektes $B$ fragt man nach der Anzahl Einheiten von $B$ , die in demselben Verhältnis zu $x 1$ Einheiten von $A$ stehen.

Der Begriff Dreisatz kommt daher, dass man dieses Proportionalitätsproblem typischerweise in drei Sätzen formuliert und löst.

I. Das Verhältnis ist $x 0$ Einheiten von $A$ zu $y 0$ Einheiten von $B$ .

II. Das entspricht dem Verhältnis eine Einheit von $A$ zu $\frac{y_0}{x_0}$ Einheiten von $B$ .

III. Das gesuchte Verhältnis ist $x 1$ Einheiten von $A$ zu $\frac{y_0\cdot x_1}{x_0}$ Einheiten $B$ .

In der Praxis werden die vorkommenden Brüche üblicherweise in jedem Schritt vollständig gekürzt.

Vor der Anwendung des Dreisatzes ist stets zu prüfen, ob die Voraussetzung einer proportionalen Zuordnung (in Beispiel 1: konstante Geschwindigkeit) gegeben ist.

Modernere Formulierung

Das Formulieren und Lösen des Dreisatzes in ganzen Sätzen stammt aus einer Zeit, bevor die Mathematik mit Hilfe der Algebra in der Lage war, solche Fragen in Symbolen auszudrücken und zu abstrahieren. Eine Methode diese Abstraktionsebene zu nutzen ist die Folgende:

Man schreibt:

I. $x_0\ \hat =\ y_0$

II. $1\ \hat =\ \frac{y_0}{x_0}$

Wichtig ist bei dieser sehr verkürzten Darstellung, die Werte mit den gleichen Einheiten untereinander zu schreiben. Man erhält

III. $x_1 \ \hat =\ \frac{y_0\cdot x_1}{x_0}$

Der verallgemeinerte Dreisatz

Der verallgemeinerte Dreisatz, der das Verhältnis von einem Produkt von Einheiten mehrerer Objekte zu einer Anzahl von Einheiten eines Objektes als Ausgangspunkt der Fragestellung nimmt, basiert auf dieser Methode (vgl. Beispiel 2).

Einfacher formuliert: Ausgehend vom Verhältnis $a_0\cdot b_0\cdot c_0\hat{=}d_0$ kann man auf zweierlei Art und Weise die Lösung des Problems $a_1\cdot b_1\cdot c_1\hat{=}?$ bestimmen. Entweder man führt mehrfach den normalen Dreisatz aus (man geht zuerst von $a 0$ zu $a 1$ über, dann von $b 0$ zu $b 1$ und schließlich von $c 0$ zu $c 1$ ) oder man macht alle Schritte parallel:

I. $a_0\cdot b_0\cdot c_0\hat{=}d_0$

II. $1\hat{=}\frac{d_0}{a_0\cdot b_0\cdot c_0}$

III. $?=\frac{d_0\cdot a_1\cdot b_1\cdot c_1}{a_0\cdot b_0\cdot c_0}$

Beispiel 1

In 3 Stunden legt ein Fahrzeug bei konstanter Geschwindigkeit 240 km zurück, wie weit kommt es in 7 Stunden? Der Schluss:

3 zu 240 verhält sich wie 7 zu "X"

Rechnung:

	Zeit in h	Strecke in km	Rechne:
1.	3	240	:3
2.	1	80	·7
3.	7	560

Lösung: In 7 Stunden kommt das Fahrzeug 560 km weit. (Die Systemkonstante ist in diesem Falle die Geschwindigkeit des Fahrzeugs, 80 km/h).

Beispiel 2

2 Kühe fressen an einem Tag 48 kg Gras. Wie viel kg Gras fressen 5 Kühe in 6 Stunden?

1. Satz: 2 Kühe fressen in 24 h 48 kg Gras
2. Satz: 1 Kuh frisst in 1 h 1 kg Gras
3. Satz: 5 Kühe fressen in 6 h 30 kg Gras

Beispiel 3

Diese Beispiele haben dieselben Zahlen, jedoch unterschiedliche Verhältnisse. Im ersten Beispiel beziehen sich die Mengenangaben auf einen festen Zeitraum (ein Arbeitstag). Im zweiten Beispiel beziehen sich andererseits die Zeitangaben auf eine feste Mengenangabe (eine bestimmte Menge Abraum).

Anwendungen

Der Dreisatz ist für Prozentrechnungen, aber auch für viele physikalische oder chemische Formeln geeignet. Dennoch ist der Dreisatz lediglich ein sehr einfaches Hilfsmittel, da die Prozentrechnung - richtig verstanden - wie auch die Bruchrechnung auf dieses Hilfsmittel verzichten.

Nachteile

Der Dreisatz kann nicht-proportionale Vorgänge nicht erfassen:

Ein Bauarbeiter braucht 1h, ein anderer Bauarbeiter benötigt 2h, für eine Mauer bestimmter Größe. Wie lange dauert es, wenn die beiden Bauarbeiter zusammenarbeiten?

Da die benötigte Zeit nicht direkt proportional mit der Anzahl der Bauarbeiter zusammenhängt, ist das Problem mit dem Dreisatz nicht formulierbar.

Die Lösung für dieses Beispiel würde so aussehen:

$\frac{1}{t_{Mauer}} = \frac{1}{t_{Arbeiter,1}} + \frac{1}{t_{Arbeiter,2}}$