Algebra

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen finden sich unter Algebra (Begriffsklärung).

Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik.

Inhaltsverzeichnis

1 Wortgeschichte
2 Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung
3 Algebra als mathematische Struktur
4 "Algebraisch" als Attribut von Zahlen, Funktionen, Gleichungen
5 "Algebraische" Teilgebiete der Mathematik
6 Literatur
7 Weblinks

[Bearbeiten] Wortgeschichte

Eine der ersten Darstellungen der Algebra ist das Aryabhattiya, ein mathematisches Lehrbuch des indischen Mathematikers Aryabhatta aus dem 5. Jahrhundert; die verwendete Methodik wurde Bijaganitam genannt. Im 13. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten die Araber diese Methode und nannten sie al-jabr ("das Zusammenfügen gebrochener (Knochen-)Teile"), was aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs Hisab al-dschabr wa-l-muqabala des persischen Mathematikers Al-Khwarizmi entnommen ist. Vier Jahrhunderte nach dem Erscheinen des Buches erschien seine lateinische Übersetzung Ludus algebrae et almucgrabalaeque. Aus al-jabr entwickelte sich das heute gekürzte Wort "Algebra".

[Bearbeiten] Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung

Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich im Laufe der Geschichte so stark erweitert, dass es schwer geworden ist, in einer knappen Definition anzugeben, was Algebra eigentlich ist. Auch wäre es nicht praktikabel, alle Aspekte der Algebra in einem Enzyklopädie-Artikel zu behandeln. Wir unterscheiden deshalb folgende, keineswegs scharf voneinander abgegrenzte Teilgebiete:

Die elementare Algebra ist die Algebra im Sinne der Schulmathematik. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen.
Die klassische Algebra beschäftigt sich mit dem Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen (siehe unten) über den reellen oder komplexen Zahlen. Ihr zentrales Resultat ist der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom n-ten Grades in n Linearfaktoren mit komplexen Koeffizienten zerlegt werden kann.
Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Untersuchung von Vektorräumen und die Bestimmung von Eigenwerten; sie ist Grundlage für die analytische Geometrie.
Die multilineare Algebra handelt von Tensoren.
Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern und deren Verknüpfung.
Die Computer-Algebra beschäftigt sich mit der symbolischen Manipulation algebraischer Ausdrücke. Einen Schwerpunkt bildet das exakte Rechnen mit ganzen, rationalen und algebraischen Zahlen sowie mit Polynomen über diesen Zahlenräumen. Auf der theoretischen Seite ist diesem Teilgebiet die Suche nach effizienten Algorithmen sowie die Ermittlung der Komplexität dieser Algorithmen zuzuordnen. Auf der praktischen Seite wurde eine Vielzahl von Computer-Algebra-Systemen entwickelt, die die rechnergestützte Manipulation algebraischer Ausdrücke ermöglichen.
Die reelle Algebra untersucht algebraische Zahlkörper, auf denen eine Anordnung definiert werden kann. Weiter werden darauf positive Polynome untersucht.
kommutative Algebra

[Bearbeiten] Algebra als mathematische Struktur

Als Algebra (auch: Algebraische Struktur oder "universelle Algebra") bezeichnet man auch das Grundkonstrukt der abstrakten Algebra: eine nichtleere Menge, auf der eine oder mehrere (u.U. partielle) Verknüpfungen definiert sind und in der gewisse Axiome gelten. Gruppen, Ringe, Körper sind somit Beispiele für spezielle Algebren.

"Algebra" bezeichnet auch konkrete algebraische Strukturen, die Verallgemeinerungen des Ringbegriffes sind, siehe Algebra (Struktur).

Eine Mengenalgebra, manchmal auch nur Algebra genannt, ist eine Teilmenge A einer Potenzmenge Π(X), mit Vereinigung und Komplementbildung als Verknüpfungen und der axiomatischen Forderung X∈A.
Eine σ-Algebra ist eine Mengenalgebra, die abgeschlossen auch bezüglich einer abzählbar unendlichen Folge von Verknüpfungen ist. σ-Algebren bilden eine Grundlage der Maßtheorie.
Boolesche Algebra
Siehe auch Relationale Algebra - ist Grundlage für Datenbanken
assoziative Algebra
Clifford-Algebra
Lie-Algebra
Jordan-Algebra
Banach-Algebra
Divisionsalgebra
Hopf-Algebra

[Bearbeiten] "Algebraisch" als Attribut von Zahlen, Funktionen, Gleichungen

Algebraisch als mathematisches Attribut hat folgende Bedeutungen:

Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung, zu deren Formulierung nur endlich viele elementare Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) erforderlich sind, in der also zum Beispiel keine typischen analytischen Funktionen vorkommen.
Die algebraischen Zahlen erhält man als Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten; die Menge der algebraischen Zahlen bildet den algebraischen Abschluss der Menge der rationalen Zahlen.
Das algebraische Element erweitert den Begriff der algebraischen Zahl auf Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus einem beliebigen vorgegebenen Körper.

[Bearbeiten] "Algebraische" Teilgebiete der Mathematik

[Bearbeiten] Literatur

Es gibt viele gute Lehrbücher zur Algebra. Beispielhaft seien hier genannt:

Hans Kreul; Harald Ziebarth: Mathematik leicht gemacht, Verlag Harri Deutsch, 6. Auflage 2006. (Grundlagen der Algebra / keine wesentlichen Vorkenntnisse notwendig, sehr verständlich) ISBN 978-3-8171-1786-4

Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition, Springer-Verlag 2002, ISBN 0-387-95385-X
Umfangreiches Standardwerk mit vielen weiterführenden Anmerkungen und Aufgaben. Die Darstellung ist für einen ersten Einstieg möglicherweise zu abstrakt.

B. L. van der Waerden: Algebra I, II. Berlin, Springer-Verlag 1993. ISBN 3-540-56801-8
Der Klassiker, dessen erste Ausgaben in den 1930er Jahren noch den Titel Moderne Algebra trugen und der erstmals konsequent den axiomatischen Ansatz von E. Noether darstellte. In der Sprache inzwischen etwas veraltet.

Lothar Kusch: Algebra, Geometrie, Integral/Differentialrechnung. ISBN 3-590-82585-5, ISBN 3-590-82623-1, ISBN 3-590-82607-x, ISBN 3-590-82771-8
G. Fischer, R. Sacher: Einführung in die Algebra, Teubner Studienbücher, Stuttgart 1983. (behandelt die abstrakte Algebra) ISBN 3-519-22053-9

Jacob Klein: Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra in: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung B: Studien, Band 3, Erstes Heft, Berlin 1934, p. 18-105 und Zweites Heft, Berlin 1936, p. 122-235; wiederveröffentlicht in englischer Sprache unter dem Titel: Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, Mass. 1968, ISBN 0-486-27289-3