Diskussion:Einbettungssatz von Whitney
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[Bearbeiten] Minimale Dimensionen
Die englische Fassung weicht von den Dimensionsangaben ab, sie behauptet, dass 2n eine scharfe untere Grenze ist, und gibt die reellen projektiven Räume als Beispiel. Für n = 1 ist die deutsche Fassung definitiv falsch.--Gunther 13:01, 29. Mär 2005 (CEST)
- Die Dimensionsangabe war ein schnellschuss, ich glaube ich habs von plantetmath, da steht 2n+1. Man muesste die orginalquellen konsultieren. Die Angabe einer unteren Schranke mit Beispiel scheint mir allerdings nicht sinnvoll- klar kann man einige Mannigfaltigkeiten in eine kleine Dimension einbetten (die unterste Schranke waere aber n klarerweise). Durch Angabe eines Beispiels fuer die die einbettung in 2n funktioniert, zeigt man aber nicht dass das fuer alle Mannigfaltigkeiten geht. Warum ist n=1 definitiv falsch?. Wenn du mehr weisst, bitte verbessern, - topolgie ist nicht mein hauptgebiet Unyxos 20:30, 30. Mär 2005 (CEST)
- Es ist deutlich leichter, eine Mannigfaltigkeit in einen
für ausreichend großes N einzubetten. Die Frage ist dann eben, welches minimale N für alle n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ausreichend ist. Natürlich gibt es Mannigfaltigkeiten, für die weniger ausreicht. Die Behauptung im letzten Satz des Artikels, dass N = 2n + 1 minimal sei, ist für n = 1 falsch, da jede zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand) diffeomorph zu 
oder 
ist, sich also in den 
einbetten lässt. Die englische Seite behauptet, dass N = 2n minimal ist und für den n-dimensionalen projektiven Raum auch tatsächlich nötig ist.--Gunther 20:45, 30. Mär 2005 (CEST)
- Die Frage ist doch: was ist die kleineste Zahl k sodass für alle n die Einbettung einer n-dimensionalen Mf in den R^k funktioniert. Wie gesagt ich habe schon beide Versionen gesehen k = 2n und k = 2n+1 und kann die Frage nicht beantoworten. Die minimale Zahl k wär die kleinste, Zahl für die dies für alle n geht. Dass man unter Umstaenden kleinere Zahlen k finden kann, wenn man die Menge der Manigfaltikeiten einschränkt, (zb. n=1 oder projektive Räume) ist klar, damit ist jedoch die ursprüngliche Aussage (2n+1 geht immer) nicht falsch. Um die Frage zu beantworten müsste man eine n-dimensionale Mf finden, die sich nicht in den R^2n einbetten laesst. (Die Beispiele (projektiver Raum) in der engl. Wp. sind jedoch soweit ich sehe positiv Beispiele d.h die Einbettung von n -> 2n funktioniert). Unyxos 21:38, 30. Mär 2005 (CEST)
- Nein, das ist ein Negativbeispiel: der n-dimensionale projektive Raum kann nicht in einen mit N < 2n eingebettet werden, aber jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit kann in den eingebettet werden, sofern
ist. (Laut englischem Artikel.) Ich schaue das nochmal nach, um eine unabhängige Referenz zu haben.--Gunther 22:21, 30. Mär 2005 (CEST) - Ich glaube du hast recht, die kleinste Dimension ist 2n - ich hab mir die quellen angeschaut, Whitney hat 1933? die Einbettun in R^(2n+1) bewiesen, und spaeter 1944? gezeigt, dass es immer eine Einbettung in R^(2n) gibt. (Zumindest fuer C^1 Mannigfaltikeiten.) Unyxos 23:53, 30. Mär 2005 (CEST)
- Nein, das ist ein Negativbeispiel: der n-dimensionale projektive Raum kann nicht in einen
- Die Frage ist doch: was ist die kleineste Zahl k sodass für alle n die Einbettung einer n-dimensionalen Mf in den R^k funktioniert. Wie gesagt ich habe schon beide Versionen gesehen k = 2n und k = 2n+1 und kann die Frage nicht beantoworten. Die minimale Zahl k wär die kleinste, Zahl für die dies für alle n geht. Dass man unter Umstaenden kleinere Zahlen k finden kann, wenn man die Menge der Manigfaltikeiten einschränkt, (zb. n=1 oder projektive Räume) ist klar, damit ist jedoch die ursprüngliche Aussage (2n+1 geht immer) nicht falsch. Um die Frage zu beantworten müsste man eine n-dimensionale Mf finden, die sich nicht in den R^2n einbetten laesst. (Die Beispiele (projektiver Raum) in der engl. Wp. sind jedoch soweit ich sehe positiv Beispiele d.h die Einbettung von n -> 2n funktioniert). Unyxos 21:38, 30. Mär 2005 (CEST)
- Es ist deutlich leichter, eine Mannigfaltigkeit in einen
