Einbettungssatz von Whitney

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Der Einbettungssatz von Whitney ist ein grundlegendes Theorem in der Differentialgeometrie. Er wurde 1936 vom amerikanischen Mathematiker Hassler Whitney bewiesen. Der Satz besagt folgendes:

Jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, besitzt eine abgeschlossene Einbettung in $\R^{2n}$ .

[Bearbeiten] Erläuterungen

Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es eigentlich nur Mannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum gibt. Die Bedingung, dass das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt sein muss ist eine schwache Voraussetzung, die fast immer gilt.

Eine Einbettung einer Mannigfaltigkeit M in eine andere N ist eine injektive Abbildung $f:M\to N$ , deren Differential df ebenfalls injektiv ist. Anschaulich gesprochen ergibt eine Einbettung in den euklidischen Raum $\R^n$ eine Fläche, die sich nirgends durchdringt oder berührt.

[Bearbeiten] Beispiel

Eine eindimensionale Mannigfaltigkeit ist eine Kurve. Nach dem Satz von Whitney gibt es also eine Einbettung in den $\R^3$ . So eine Einbettung kann man aufzeichnen, indem man die Kurve in einem dreidimensionalen Raum mit x-y-z Koordinatensystem zeichnet. Wichtig dabei ist, dass sich die Kurve sich niemals kreuzt, denn nur dann hat man eine Einbettung.

Ein weiteres Beispiel ist die Kleinsche Flasche, eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich nicht ohne sich selbst zu schneiden in den dreidimensionalen Raum einbetten lässt, wohl aber in den vierdimensionalen $\R^4$ .

Das Beispiel der Einbettung des Torus in den dreidimensionalen Raum zeigt, dass die Dimension 2n nicht immer die kleinste Dimension ist, für die eine Einbettung existiert; manchmal genügt auch eine niedrigere Dimension. Aber das Resultat von Whitney ist scharf in dem Sinn, dass es für jedes n eine n-dimensionale Mannigfaltikeit gibt, die in den 2n-dimensionalen Raum, aber nicht in den (2n − 1)-dimensionalen Raum eingebettet werden kann.

[Bearbeiten] Referenzen

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