Diskussion:Fast alle
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[Bearbeiten] Überarbeiten 3. Juli 2005
- "Fast alle" hat nichts mit der Anordnung der natürlichen Zahlen zu tun, ebenso "unendlich viele" (das nichts anderes bedeutet, als dass die Anzahl unendlich ist)
- "Fast alle" wird für endliche Mengen nicht verwendet, eben weil jede Aussage (auch 1=2) für fast alle Elemente einer endlichen Menge zutrifft.
--Gunther 3. Jul 2005 18:54 (CEST)
Die Einschränkung von "fast alle" nur auf endliche Mengen ist aber in der Definition nicht enthalten. Daher gilt natürlich jegliche beliebige Eigenschaft, sofern sie zumindest für ein einziges Element zutrifft, für "fast alle" Elemente einer endlichen Menge! Die zitierte Aussage "1=2" gilt eben nicht für "fast alle", da sie überhaupt nie zutrifft. Ich werde das (überarbeitete) Endlichkeitsparadoxon wieder in den Artikel stellen. MikeTheGuru 12:39, 4. Nov 2005 (CET)
- Eine Formalisierung wäre ja z.B.: Eine Aussage A gilt für fast alle Elemente einer Menge X, wenn die Menge
endlich ist. Und das ist bei einer endlichen Menge X nun einmal wahr, selbst wenn A die Aussage 1=2 ist. - Der Grund, aus dem ich das "Endlichkeitsparadoxon" gelöscht habe, ist der, dass der Begriff nun einmal in aller Regel nur auf unendliche Mengen angewendet wird. Einem gewissermaßen exotischen Spezialfall sollte nicht so viel Raum gegeben werden.--Gunther 12:57, 4. Nov 2005 (CET)
Ließe sich Fast alle nicht in Konvergenz unterbringen da es meist im Zusammenhang mit epsilon-Umgebung benutzt wird?--Des Messers Schneide 6. Jul 2005 12:53 (CEST)
- "Fast alle" wird auch in anderem Kontext benutzt, vgl. z.B. direkte Summe.--Gunther 6. Jul 2005 14:11 (CEST)
Inhaltlich halte ich den bisherigen Beitrag für richtig (abgesehen davon, daß ich den Begriff cofinit nicht kenne). Der Vergleich mit "unendlich viele" gefällt mir. Um die Interpretation unter Nutzung von Ordnungsrelationen deutlicher als Spezialfall darzustellen, schlage ich folgende Umformulierung des ersten Teils vor:
Fast alle ist in der Mathematik eine Abkürzung für alle bis auf endlich viele:
Es heißt, eine Eigenschaft 
werde von fast allen Elementen einer Menge erfüllt, wenn sie von höchstens endlich vielen Elementen nicht erfüllt wird.
[Bearbeiten] Spezialisierung auf Folgen
wird von fast allen Gliedern einer Folge erfüllt, wenn höchstens endlich viele Folgenglieder Gegenbeispiele sind.
Diese Eigenschaft läßt sich auch charakterisieren durch 
.
Echt schwächer ist die Formulierung unendlich viele, also 
.
[Bearbeiten] Vergleich
- "fast alle" ist kein Spezialfall des maßtheoretischen Begriffs fast überall, denn wenn alle endlichen Mengen bezüglich eines Maßes Nullmengen sind, so wegen dessen σ-Additivität auch alle abzählbaren.
- Teilmengen, die fast alle Elemente einer Menge enthalten, heißen auch kofinit.
--FRR 21:53, 29. Jul 2005 (CEST)
- Zwei Punkte:
- Man sollte erwähnen, dass "unendlich viele" keine Kurzbezeichnung für
ist, sondern tatsächlich einfach "unendlich viele" bedeutet. - Zu "kofinit" sollte man auf jeden Fall auch die deutsche Fassung "koendlich" erwähnen.
- Man sollte erwähnen, dass "unendlich viele" keine Kurzbezeichnung für
- Ansonsten: WP:SM!--Gunther 22:02, 29. Jul 2005 (CEST)
[Bearbeiten] Unendlich viele
Eng verwandt damit ist die Formulierung unendlich viele. Diese ist eine Kurzform für
Für jedes N∈ℕ gibt es ein n>N, so dass ... für a_n erfüllt ist.
Beispiele
2. Es gibt unendlich viele durch 3 teilbare natürliche Zahlen, genauso wie es unendlich viele nicht durch 3 teilbare gibt.
Unendlich viele und fast alle sollte IMHO nicht in einem Artikel abgehandelt werden. Die Definition oben für unendlich viele ist offensichtlich falsch. Ansonsten müsste man im Beispiel ein N angeben können, ab dem alle Zahlen durch drei teilbar sind. --Rat 14:36, 12. Jul 2005 (CEST)
- Nein, nur für jedes N eine durch drei teilbare Zahl grösser als N angeben können. Aber ich bin auch nicht glücklich damit, s.o.--Gunther 14:38, 12. Jul 2005 (CEST)
