Nullmenge

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Als Nullmenge bezeichnet man in der Mathematik eine Teilmenge eines Maßraums, die das Maß 0 hat. Sie ist nicht mit der leeren Menge zu verwechseln; tatsächlich kann eine Nullmenge sogar unendlich viele Elemente enthalten.

Für den euklidischen Raum mit dem Lebesgue-Maß gilt:

Eine Menge ist Nullmenge, wenn für alle ε > 0 gilt: Es existiert eine offene Überdeckung von M mit höchstens abzählbar unendlich vielen Quadern, und die Summe der Volumina dieser Quader ist kleiner als ε.

Von einer Eigenschaft, die für alle Elemente des Maßraums außerhalb einer Nullmenge gilt, sagt man, dass sie fast überall gilt.

[Bearbeiten] Beispiele

• Die leere Menge bildet eine Nullmenge in jedem Maßraum, in dem wenigstens eine Menge mit endlichem Maß existiert.

Für das Lebesgue-Maß auf bzw. gilt:

• Jede abzählbare Teilmenge des ist eine Nullmenge. Insbesondere ist die Menge der rationalen Zahlen in der Menge der reellen Zahlen eine Nullmenge.
• Jeder echte Untervektorraum, insbesondere jede Hyperebene, des ist eine Nullmenge. Dasselbe gilt für affine Unterräume und Untermannigfaltigkeiten deren Dimension kleiner als n ist.
• Die Cantor-Menge ist eine überabzählbare Nullmenge in der Menge der reellen Zahlen.