Fourieranalyse

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Die Fourieranalyse beschreibt das Zerlegen eines beliebigen periodischen Signals in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen (eine sogenannte Fourierreihe). Sie zerlegt ein Signal damit in seine Frequenzanteile. Die Fouriersynthese hingegen beschreibt das umgekehrte Verfahren, die Erzeugung beliebiger Signale aus Sinus- und Kosinusfunktionen. Für eine ausführliche Diskussion der verschiedenen Verfahren ähnlichen Namens und eine mathematische Herleitung sei auf den Artikel zur Fourier-Transformation verwiesen.

[Bearbeiten] Funktionsweise

Als Beispiel für die Funktionsweise soll die Zerlegung eines Rechtecksignals (Tastverhältnis 1:1, kein Gleichspannungsanteil) dienen. Die Funktion lautet

$u(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{ wenn } 0\leq t <\pi \\ -1, & \mbox{ wenn } \pi \leq t < 2\pi \end{cases} \qquad u(t+2\pi) = u(t)$ .

Die Funktion ist demzufolge $2π$ -periodisch .

Entwickelt man obige Funktion in eine Fourierreihe, so erhält man die folgende unendliche Reihe:

$v(t)=\frac{4U_S}{\pi}\left(\sin\omega t+\frac{1}{3}\sin(3\omega t)+\frac {1}{5}\sin(5\omega t)+\frac{1}{7}\sin(7\omega t)+\frac{1}{9} \dots\right)$

Anhand dieser Funktion erkennt man, dass man eine Rechteckschwingung durch unendlich viele Oberschwingungen darstellen kann. Sie enthält jeweils die ungeraden harmonischen Oberschwingungen, wobei die Amplitude mit steigender Frequenz abnimmt. Aufgrund dessen wird ein Rechtecksignal auch häufig zum Testen elektronischer Schaltungen genommen, da so das Frequenzverhalten dieser Schaltung erkannt wird.

Im folgenden Bild ist die Fouriersynthese eines Rechtecksignals dargestellt. Die Diagramme der ersten Spalte zeigen diejenige Schwingung, welche in der jeweiligen Zeile hinzugefügt wird. Die Diagramme in der zweiten Spalte zeigen alle bisher berücksichtigten Schwingungen, welche dann in den Diagrammen der dritten Spalte addiert werden, um dem zu erzeugenden Signal möglichst nahe zu kommen. Die Schwingung aus der ersten Zeile nennt sich Fundamentalschwingung, alle weiteren, die hinzugefügt werden, sind so genannte Oberschwingungen. Je mehr solcher Vielfache der Grundfrequenz berücksichtigt werden, umso näher kommt man einem idealen Rechtecksignal. An den unstetigen Stellen der Rechteckfunktion bildet sich durch die Fouriersynthese bedingt ein so genannter Überschwinger, der auch bei größerer Approximation nicht verschwindet. Diese Erscheinung wird Gibbssches Phänomen genannt, für eine große Anzahl an überlagerten Schwingungen macht sie etwa 9% des vollen Sprungs aus. Die vierte Spalte zeigt zunächst das Amplitudenspektrum. Zu einem Frequenzspektrum wird es dann, wenn man die Anzahl der Abtastpunkte in Verbindung mit der Abtastfrequenz bringt.

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel

Als Beispiel (mit Diskretheit): Eine Schwingung wird mit einer Frequenz von 44.1 kHz abgetastet. Nun wird mit den so erhaltenen Werten eine komplexwertige Diskrete Fourier-Transformation mit 512 Punkten durchgeführt. Man erhält das Amplitudenspektrum, welches von 0 bis 512 läuft. Allerdings ist dabei folgendes zu beachten: Das eigentliche Amplitudenspektrum läuft nur von 0 bis 255. Ab 256 bis 512 ergibt sich eine Spiegelung desselben. Dies hängt mit den "negativen Frequenzen" zusammen, die zwar z.B. physikalisch keine Rolle spielen aber mathematisch. Bei der o.g. Abtastfrequenz ergibt sich nach dem Abtasttheorem eine Darstellung von 0 bis 22.05 kHz. Das bedeutet: 0 steht für > 0 Hz (da keine Gleichstromanteile vorhanden sind) und 254 steht für 22.05 kHz.

Siehe auch: Ordnungsanalyse